Determinado evento possui, em um sistema de referência
, coordenadas
e
. Considere, então, um sistema de referência
que se move com velocidade constante
ao longo do eixo positivo
do referencial
. Encontre as coordenadas do evento nesse referencial
. (Considere que os eixos
e
de ambos os sistemas são paralelos.)
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas de um evento no referencial
:
-
, , . -
.
Também dá o movimento do referencial
em relação a
:
- velocidade
ao longo do eixo positivo de .
O que o problema pede:
- Encontrar as coordenadas do mesmo evento no referencial
: .
Informações relevantes listadas:
- A velocidade relativa é
. - A constante
(velocidade da luz) será tomada como para cálculos numéricos. - Os eixos
são paralelos nos dois referenciais, então as transformações usuais de Lorentz se aplicam.
Passo 2
Qual o método a usar (sem enrolar): para mudar coordenadas entre dois referenciais inerciais em movimento relativo a uma velocidade constante, usa-se a transformação de Lorentz (teoria da relatividade restrita). Vou escrever as fórmulas fundamentais e explicar cada termo antes de aplicar.
As transformações de Lorentz (no caso de movimento ao longo de
) são:
Explicando as variáveis e constantes:
-
são as coordenadas do evento em . -
são as coordenadas do mesmo evento em . -
é a velocidade de em relação a (aqui ao longo de ). -
é a velocidade da luz. -
é o fator de Lorentz, definido por
O papel de
é corrigir espaço e tempo quando as velocidades são comparáveis a
.
Passo 3
Calcular
com
.
Primeiro,
.
Logo,
Logo,
Podemos usar
exatamente, e numericamete
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Usar a fórmula
.
Primeiro calcule
:
Fazendo as contas sem calculadora:
portanto
Agora
.
Multiplicando por
:
Uma forma exata simples é notar
, então
Aproximação numérica:
Passo 5
Calcular
passo a passo.
Usar a fórmula
.
Primeiro calcule
. Note que
Calcule
:
Então
Agora
Multiplicando por
:
Aproximação numérica:
(ou escrito com potência explícita:
arredondando).
Passo 6
Calcular
e
.
Como os eixos são paralelos e o movimento é só ao longo de
, temos
Sem surpresa.
Passo 7
Interpretação curta e incentivo (didático e motivador).
- O tempo
ficou negativo: isso significa apenas que, no referencial , o evento ocorre antes do instante (ou seja, antes do evento “origem” em ). Não há contradição física: sinais de tempo podem mudar de signo entre referenciais, contanto que a ordem causal de eventos ligados por luz ou por interação causal seja preservada (aqui tratamos de um único evento, não de causalidade entre eventos separados). - Bom trabalho! A receita que tens que decorar para a prova é: usar as fórmulas de Lorentz, calcular
, e depois aplicar diretinho e . Pratica mais alguns exercícios para ganhar fluidez.