Determinado evento possui, em um sistema de referência S, coordenadas x= 40 m, y=z=0 e t=10^{-8} s. Considere, então, um sistema de referência S^{\prime} que se move com velocidade constante v=0,5 c ao longo do eixo positivo x do referencial S. Encontre as coordenadas do evento nesse referencial S^{\prime}. (Considere que os eixos x, y e z de ambos os sistemas são paralelos.)

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas de um evento no referencial S:
  • \,x=40\\ \mathrm{m}, \,y=0, \,z=0.
  • \,t=10^{-8}\\ \mathrm{s}.
Também dá o movimento do referencial S' em relação a S:
  • velocidade \,v=0,5\,c ao longo do eixo positivo x de S.
O que o problema pede:
  • Encontrar as coordenadas do mesmo evento no referencial S': \,x',y',z',t'.
Informações relevantes listadas:
  • A velocidade relativa é \,v=0,5\,c.
  • A constante c (velocidade da luz) será tomada como c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} para cálculos numéricos.
  • Os eixos x,y,z são paralelos nos dois referenciais, então as transformações usuais de Lorentz se aplicam.

Passo 2

Qual o método a usar (sem enrolar): para mudar coordenadas entre dois referenciais inerciais em movimento relativo a uma velocidade constante, usa-se a transformação de Lorentz (teoria da relatividade restrita). Vou escrever as fórmulas fundamentais e explicar cada termo antes de aplicar.
As transformações de Lorentz (no caso de movimento ao longo de x) são:
x'=\gamma\,(x-vt),
t'=\gamma\!\left(t-\frac{v\,x}{c^{2}}\right),
y'=y,\qquad z'=z.
Explicando as variáveis e constantes:
  • \,x,t são as coordenadas do evento em S.
  • \,x',t' são as coordenadas do mesmo evento em S'.
  • \,v é a velocidade de S' em relação a S (aqui ao longo de x).
  • \,c é a velocidade da luz.
  • \,\gamma é o fator de Lorentz, definido por
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
O papel de \gamma é corrigir espaço e tempo quando as velocidades são comparáveis a c.

Passo 3

Calcular \gamma com v=0,5\,c.
Primeiro, \dfrac{v^{2}}{c^{2}}=(0,5)^{2}=0,25.
Logo,
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0,25}}=\frac{1}{\sqrt{0,75}}=\frac{1}{\sqrt{3/4}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Podemos usar \gamma=\dfrac{2}{\sqrt{3}} exatamente, e numericamete
\gamma\approx 1,154700538\\ (\text{aprox. }1,1547).

Passo 4

Calcular x' passo a passo.
Usar a fórmula \,x'=\gamma\,(x-vt).
Primeiro calcule v\,t:
v\,t = 0,5\,c\cdot 10^{-8}\\ \mathrm{s} = 0,5\cdot 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\cdot 10^{-8}\\ \mathrm{s}.
Fazendo as contas sem calculadora:
3\times10^{8}\cdot10^{-8}=3,
portanto
v\,t=0,5\cdot 3 = 1,5\\ \mathrm{m}.
Agora x-vt = 40 - 1,5 = 38,5\\ \mathrm{m}.
Multiplicando por \gamma:
x'=\gamma\,(38{,}5)=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 38{,}5.
Uma forma exata simples é notar 38{,}5=\dfrac{77}{2}, então
x'=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{77}{2}=\frac{77}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{m}.
Aproximação numérica:
x'\approx 44{,}497\\ \mathrm{m}\quad(\text{arredondando }44{,}50\\ \mathrm{m}).

Passo 5

Calcular t' passo a passo.
Usar a fórmula \,t'=\gamma\!\left(t-\dfrac{v\,x}{c^{2}}\right).
Primeiro calcule \dfrac{v\,x}{c^{2}}. Note que
\frac{v\,x}{c^{2}} = \frac{0,5\,c\cdot x}{c^{2}} = 0,5\cdot\frac{x}{c}.
Calcule \dfrac{x}{c}:
\frac{x}{c}=\frac{40\\ \mathrm{m}}{3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}=\frac{40}{3}\times10^{-8}\\ \mathrm{s} \approx 13{,}333\!\times10^{-8}\\ \mathrm{s}.
Então
\frac{v\,x}{c^{2}}=0,5\cdot\frac{40}{3}\times10^{-8}=\frac{20}{3}\times10^{-8}\\ \mathrm{s}\approx 6{,}6667\times10^{-8}\\ \mathrm{s}.
Agora t-\dfrac{v\,x}{c^{2}} = 1\times10^{-8} - \dfrac{20}{3}\times10^{-8} = \left(1-\dfrac{20}{3}\right)\times10^{-8} = -\dfrac{17}{3}\times10^{-8}\\ \mathrm{s}.
Multiplicando por \gamma=\dfrac{2}{\sqrt{3}}:
t'=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\left(-\frac{17}{3}\times10^{-8}\right) = -\frac{34}{3\sqrt{3}}\times10^{-8}\\ \mathrm{s}.
Aproximação numérica:
t'\approx -6{,}5433\times10^{-8}\\ \mathrm{s}.
(ou escrito com potência explícita: t'\approx -6{,}54\times10^{-8}\\ \mathrm{s} arredondando).

Passo 6

Calcular y' e z'.
Como os eixos são paralelos e o movimento é só ao longo de x, temos
y'=y=0,\qquad z'=z=0.
Sem surpresa.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo (didático e motivador).
  • O tempo t' ficou negativo: isso significa apenas que, no referencial S', o evento ocorre antes do instante t'=0 (ou seja, antes do evento “origem” em S'). Não há contradição física: sinais de tempo podem mudar de signo entre referenciais, contanto que a ordem causal de eventos ligados por luz ou por interação causal seja preservada (aqui tratamos de um único evento, não de causalidade entre eventos separados).
  • Bom trabalho! A receita que tens que decorar para a prova é: usar as fórmulas de Lorentz, calcular \gamma, e depois aplicar diretinho x'=\gamma(x-vt) e t'=\gamma(t-vx/c^{2}). Pratica mais alguns exercícios para ganhar fluidez.

Resposta

x'=\dfrac{77}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{m}\approx 44{,}50\\ \mathrm{m}
t'=-\dfrac{34}{3\sqrt{3}}\times10^{-8}\\ \mathrm{s}\approx -6{,}54\times10^{-8}\\ \mathrm{s}
y'=0
z'=0

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