O volume de um gás ideal é reduzido adiabaticamente de 200 L para
. A pressão e temperatura iniciais são
300 K . A pressão final é
. (a) o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico? (b) Qual é a temperatura final? (c) Quantos mols existem no gás?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes números do enunciado):
- Volume inicial:
. - Volume final:
. - Pressão inicial:
. - Pressão final:
. - Temperatura inicial:
.
O enunciado pede três coisas:
(a) determinar se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico;
(b) calcular a temperatura final ;
(c) calcular a quantidade de matéria (número de mols) .
(a) determinar se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico;
(b) calcular a temperatura final
(c) calcular a quantidade de matéria (número de mols)
Passo 2
Lembrando a lei do processo adiabático reversível para gás ideal: durante uma compressão/expansão adiabática e reversível vale
onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a razão dos calores molares (constante adiabática).
A partir de dois estados (inicial e final) dessa relação podemos escrever
Tomando logaritmo natural dos dois lados e isolando
obtemos a fórmula prática para calcular
a partir de
e
:
Esta é a fórmula que usaremos para classificar o gás (parte (a)).
Passo 3
Calcular
usando os valores dados:
Aplicando a fórmula,
Agora as contas (mostrando os passos):
Portanto
.
Passo 4
Interpretação: para gases ideais monoatômicos (só translação) tem-se
; para diatômicos (translação + rotação, sem vibração ativada) tem-se
; para muitos gases poliatômicos não-lineares típicos
. Como obtivemos
, isso indica que o gás é diatômico.
Uma verificação adicional usando graus de liberdade: para um gás com
graus de liberdade vale
Isolando
:
Substituindo
:
ou seja,
graus de liberdade, consistente com um gás diatômico. Conclusão da parte (a): gás diatômico.
Passo 5
Agora a parte (b): calcular
.
Do gás ideal, para n fixo vale
. Assim
é proporcional a
quando
e
são constantes, logo
Essa é a forma mais direta de obter
a partir dos estados conhecidos. Substituindo os números:
Calcule o fator:
Portanto
(Confirmação alternativa: usando a relação adiabática
constante daria o mesmo resultado.)
Passo 6
Parte (c): calcular o número de mols
.
Usamos a equação dos gases ideais no estado inicial:
Escolhendo unidades compatíveis:
em
,
em
,
em
e
.
Substituindo:
Verificação rápida: usando o estado final
dá o mesmo valor dentro de pequenas diferenças de arredondamento.
Resposta
(a) Diatômico
(b)
(c)
(b)
(c)