O volume de um gás ideal é reduzido adiabaticamente de 200 L para 74,3 \mathrm{~L}. A pressão e temperatura iniciais são 1,00 \mathrm{~atm} \mathrm{e} 300 K . A pressão final é 4,00 \mathrm{~atm}. (a) o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico? (b) Qual é a temperatura final? (c) Quantos mols existem no gás?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes números do enunciado):
  • Volume inicial: V_i = 200\\ \text{L}.
  • Volume final: V_f = 74{,}3\\ \text{L}.
  • Pressão inicial: P_i = 1{,}00\\ \text{atm}.
  • Pressão final: P_f = 4{,}00\\ \text{atm}.
  • Temperatura inicial: T_i = 300\\ \text{K}.
O enunciado pede três coisas:
(a) determinar se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico;
(b) calcular a temperatura final T_f;
(c) calcular a quantidade de matéria (número de mols) n.

Passo 2

Lembrando a lei do processo adiabático reversível para gás ideal: durante uma compressão/expansão adiabática e reversível vale
P V^{\gamma}=\text{constante},
onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • \gamma é a razão dos calores molares C_P/C_V (constante adiabática).
A partir de dois estados (inicial e final) dessa relação podemos escrever
\frac{P_f}{P_i}=\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma}.
Tomando logaritmo natural dos dois lados e isolando \gamma obtemos a fórmula prática para calcular \gamma a partir de P e V:
\gamma=\frac{\ln\!\left(\dfrac{P_f}{P_i}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{V_i}{V_f}\right)}.
Esta é a fórmula que usaremos para classificar o gás (parte (a)).

Passo 3

Calcular \gamma usando os valores dados:
\frac{P_f}{P_i}=\frac{4{,}00}{1{,}00}=4, \qquad \frac{V_i}{V_f}=\frac{200}{74{,}3}\approx 2{,}692.
Aplicando a fórmula,
\gamma=\frac{\ln(4)}{\ln(2{,}692)}.
Agora as contas (mostrando os passos):
\ln(4)\approx 1{,}386294,\qquad \ln(2{,}692)\approx 0{,}99025,
\gamma\approx\frac{1{,}386294}{0{,}99025}\approx 1{,}40.
Portanto \gamma\approx 1{,}40.

Passo 4

Interpretação: para gases ideais monoatômicos (só translação) tem-se \gamma=\tfrac{5}{3}\approx 1{,}67; para diatômicos (translação + rotação, sem vibração ativada) tem-se \gamma=\tfrac{7}{5}=1{,}40; para muitos gases poliatômicos não-lineares típicos \gamma\approx 1{,}33. Como obtivemos \gamma\approx 1{,}40, isso indica que o gás é diatômico.
Uma verificação adicional usando graus de liberdade: para um gás com f graus de liberdade vale
\gamma=1+\frac{2}{f}.
Isolando f:
f=\frac{2}{\gamma-1}.
Substituindo \gamma=1{,}40:
f=\frac{2}{0{,}40}=5,
ou seja, f=5 graus de liberdade, consistente com um gás diatômico. Conclusão da parte (a): gás diatômico.

Passo 5

Agora a parte (b): calcular T_f.
Do gás ideal, para n fixo vale P V = n R T. Assim T é proporcional a P V quando n e R são constantes, logo
\frac{T_f}{T_i}=\frac{P_f V_f}{P_i V_i}.
Essa é a forma mais direta de obter T_f a partir dos estados conhecidos. Substituindo os números:
T_f = T_i\cdot\frac{P_f V_f}{P_i V_i} =300\cdot\frac{4{,}00\times 74{,}3}{1{,}00\times 200}.
Calcule o fator:
4{,}00\times 74{,}3 = 297{,}2, \qquad \frac{297{,}2}{200}=1{,}486.
Portanto
T_f = 300\times 1{,}486 = 445{,}8\\ \text{K}\approx 446\\ \text{K}.
(Confirmação alternativa: usando a relação adiabática T V^{\gamma-1}= constante daria o mesmo resultado.)

Passo 6

Parte (c): calcular o número de mols n.
Usamos a equação dos gases ideais no estado inicial:
n=\frac{P_i V_i}{R T_i}.
Escolhendo unidades compatíveis: P em \text{atm}, V em \text{L}, T em \text{K} e R=0{,}082057\\ \dfrac{\text{L}\cdot\text{atm}}{\text{mol}\cdot\text{K}}.
Substituindo:
R T_i = 0{,}082057\times 300 = 24{,}6171\\ \frac{\text{L}\cdot\text{atm}}{\text{mol}},
n=\frac{1{,}00\times 200}{24{,}6171}\approx 8{,}12\\ \text{mol}.
Verificação rápida: usando o estado final n=\dfrac{P_f V_f}{R T_f}=\dfrac{297{,}2}{0{,}082057\times 445{,}8} dá o mesmo valor dentro de pequenas diferenças de arredondamento.

Resposta

(a) Diatômico
(b) T_f = 446\\ \text{K}
(c) n = 8,12\\ \text{mol}

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