Seja P uma probabilidade sobre os eventos aleatórios de um espaço amostral. Sejam A e B eventos tais que
e
. Demonstre que
.
Passo 1
O enunciado dá que temos uma probabilidade
sobre um espaço amostral e dois eventos
e
tais que
e
.
A pergunta é: demonstrar que .
A pergunta é: demonstrar que
Passo 2
Vamos usar uma propriedade básica de medidas de probabilidade: se um conjunto
está contido em outro conjunto
(ou seja,
), então a probabilidade de
é menor ou igual à probabilidade de
:
Vou provar essa propriedade de forma simples e clara.
Passo 3
Prova da propriedade de monotonicidade (passo a passo, sem pular etapas): se
, podemos escrever
como união disjunta de
com a parte de
que não está em
. Ou seja,
e as partes
e
são disjuntas. Pela aditividade da probabilidade em conjuntos disjuntos,
Como probabilidades são números não negativos, temos
. Portanto
Isso demonstra que, sempre que
, vale
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso problema: claramente
(qualquer elemento de
está em
). Então, pela propriedade provada,
Como o enunciado nos deu
, obtemos
Logo
.
Passo 5
Comentário adicional (opcional, só para reforçar a intuição): usando a fórmula da união,
Como
, o termo
é não negativo, e portanto
. Substituindo
chega-se à mesma conclusão.