Seja P uma probabilidade sobre os eventos aleatórios de um espaço amostral. Sejam A e B eventos tais que P[A]=2 / 3 e P[B]=4 / 9. Demonstre que P[A \cup B] \geq 2 / 3.

Passo 1

O enunciado dá que temos uma probabilidade P sobre um espaço amostral e dois eventos A e B tais que P[A]=\tfrac{2}{3} e P[B]=\tfrac{4}{9}.
A pergunta é: demonstrar que P[A\cup B]\ge \tfrac{2}{3}.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade básica de medidas de probabilidade: se um conjunto E está contido em outro conjunto F (ou seja, E\subseteq F), então a probabilidade de E é menor ou igual à probabilidade de F:
P[E]\le P[F].
Vou provar essa propriedade de forma simples e clara.

Passo 3

Prova da propriedade de monotonicidade (passo a passo, sem pular etapas): se E\subseteq F, podemos escrever F como união disjunta de E com a parte de F que não está em E. Ou seja,
F = E \cup (F\setminus E),
e as partes E e F\setminus E são disjuntas. Pela aditividade da probabilidade em conjuntos disjuntos,
P[F] = P[E] + P[F\setminus E].
Como probabilidades são números não negativos, temos P[F\setminus E]\ge 0. Portanto
P[F] \ge P[E].
Isso demonstra que, sempre que E\subseteq F, vale P[E]\le P[F].

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema: claramente A\subseteq A\cup B (qualquer elemento de A está em A\cup B). Então, pela propriedade provada,
P[A]\le P[A\cup B].
Como o enunciado nos deu P[A]=\tfrac{2}{3}, obtemos
\tfrac{2}{3}=P[A]\le P[A\cup B].
Logo P[A\cup B]\ge \tfrac{2}{3}.

Passo 5

Comentário adicional (opcional, só para reforçar a intuição): usando a fórmula da união,
P[A\cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B].
Como P[A\cap B]\le P[B], o termo P[B]-P[A\cap B] é não negativo, e portanto P[A\cup B]\ge P[A]. Substituindo P[A]=\tfrac{2}{3} chega-se à mesma conclusão.

Resposta

P[A\cup B]\ge \tfrac{2}{3}

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