Suponha que uma caixa contenha r bolas numeradas de 1 a r. Seleciona-se sem reposição uma amostra aleatória de tamanho n. Seja Y o maior número observado na amostra e Z o menor. Determine:
P(Y <= y), forall y in R;

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: temos uma caixa com r bolas numeradas de 1 até r. A gente tira uma amostra de tamanho n sem repor, e define Y como o maior número que apareceu nessa amostra. O que queremos é a função de distribuição de Y, isto é
P(Y<= y), forall yin R
Isso cai em Probabilidade Discreta, mais especificamente em distribuição de ordem (aqui, o máximo). Para resolver, vamos usar contagem de casos (combinatória) e a fórmula do coeficiente binomial
binomNk=N!k!,(N-k)!,

Passo 2

Primeiro, conta quantas amostras de tamanho n podem ser formadas ao todo: é simplesmente escolher n bolas dentre r, ou seja
total de amostras=binomrn

Passo 3

Agora, o que significa binomlfloor yrfloorn? Significa que todas as bolas escolhidas têm número menor ou igual a y. Se y não for inteiro, basta notar que só importam as bolas até o número . Logo, das r bolas, só podemos tirar as primeiras .
  • Se , nem dá pra escolher n bolas entre aquelas primeiras , então não há casos favoráveis: probabilidade 0.
  • Se , o número de jeitos de pegar n bolas todas com rótulo ≤ y é
  • Se , então “todas as bolas” cabem, ou seja todos os subconjuntos são válidos e a probabilidade vira 1.

Passo 4

Como a probabilidade é casos favoráveis dividido por total de casos, temos
P(Y<= y) =nº de amostras só com bolas <= ybinomrn = 0, & lfloor yrfloor< n,[6pt] dfracbinomlfloor yrfloornbinomrn, & n<=lfloor yrfloor= r ºó

Resposta

P(Y<= y)= 0, & lfloor yrfloor< n,[6pt] dfracbinomlfloor yrfloornbinomrn, & n<=lfloor yrfloor= r

Exercícios relacionados