Suponha que uma caixa contenha
bolas numeradas de 1 a
. Seleciona-se sem reposição uma amostra aleatória de tamanho
. Seja
o maior número observado na amostra e
o menor. Determine:
;
Passo 1
Então, o enunciado diz o seguinte: temos uma caixa com r bolas numeradas de 1 até r. A gente tira uma amostra de tamanho n sem repor, e define Y como o maior número que apareceu nessa amostra. O que queremos é a função de distribuição de Y, isto é
Isso cai em Probabilidade Discreta, mais especificamente em distribuição de ordem (aqui, o máximo). Para resolver, vamos usar contagem de casos (combinatória) e a fórmula do coeficiente binomial
Passo 2
Primeiro, conta quantas amostras de tamanho n podem ser formadas ao todo: é simplesmente escolher n bolas dentre r, ou seja
Passo 3
Agora, o que significa
? Significa que todas as bolas escolhidas têm número menor ou igual a y. Se y não for inteiro, basta notar que só importam as bolas até o número
. Logo, das r bolas, só podemos tirar as primeiras
.
- Se
, nem dá pra escolher n bolas entre aquelas primeiras , então não há casos favoráveis: probabilidade 0. - Se
, o número de jeitos de pegar n bolas todas com rótulo ≤ y é - Se
, então “todas as bolas” cabem, ou seja todos os subconjuntos são válidos e a probabilidade vira 1.
Passo 4
Como a probabilidade é casos favoráveis dividido por total de casos, temos