Suponha que o número de chegadas de clientes em um posto de informações turísticas seja uma variável aleatória com distribuição Poisson com taxa de 2 pessoas por hora ( X sim Poisson(2) ). Para uma hora qualquer, determine a probabilidade de ocorrer:
mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas.

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado diz que o número de chegadas de clientes num posto de turismo segue uma Poisson com taxa λ=2 pessoas por hora, isto é, Pl(X>2 mid X<5r) . A gente precisa descobrir
“a probabilidade de ocorrer mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas”
ou seja
Para resolver isso, vamos usar:
  1. a fórmula de probabilidade condicional
  2. a expressão da função massa de probabilidade da Poisson
  3. soma de probabilidades (porque “mais de 2” e “menos de 5” viram intervalos de valores)

Passo 2

Lembrando que, em geral,
P(Amid B)=P(Acap B)P(B)
Aqui A é “ Pl(X>2 mid X<5r) =Pl(X>2capX<5r)P(X<5) =P(3<= X <=4)P(X<5) ” e B é “ ”. Então

Passo 3

Agora a gente escreve a fórmula da Poisson:
P(X=k)=e^-2,2^kk!
Então
P(X<5)=sumk=0^4 e^-2,2^kk! e P(3<= X<=4)=sumk=3^4 e^-2,2^kk!

Passo 4

Vamos calcular cada termo (usando 0,135335+0,270671+0,270671=0,676677 ):
Para a 2:
Somando esses já temos parte de :

Passo 5

Agora P(3<= X<=4)=0,180447+0,0902235=0,2706705, e P(X<5)=0,676677 + 0,180447 + 0,0902235 = 0,947347 :
Então
e

Passo 6

Finalmente, a condicional:
P(X>2mid X<5) =P(3<= X<=4)P(X<5) =0,27067050,947347 approx 0,2858

Resposta

A probabilidade pedida é aproximadamente (ou 28,58%).

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