Suponha que calor seja extraído do interior da geladeira da sua cozinha a uma taxa média de 300 watts. Assumindo uma operação ideal ( T_{q}=300 \mathrm{~K} e T_{f}=260 \mathrm{~K} ), quanta potência a geladeira deve extrair da tomada?

Passo 1

O enunciado pede para descobrir quanta potência elétrica a geladeira deve puxar da tomada, sabendo que calor é extraído do interior da geladeira a uma taxa média de 300\\ \mathrm{W}. As informações dadas são:
  • Taxa de calor retirada do interior (reservatório frio): \dot{Q}_{c}=300\\ \mathrm{W}.
  • Temperatura do reservatório quente (ambiente): T_{q}=300\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura do reservatório frio (interior da geladeira): T_{f}=260\\ \mathrm{K}.
A pergunta é: qual é a potência elétrica (trabalho por unidade de tempo \dot{W}) que a geladeira ideal (reversível/Carnot) precisa consumir da tomada?

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): para uma geladeira ideal reversível (ciclo de Carnot operando como refrigerador) existem duas relações úteis.
  1. Balanço de energia por unidade de tempo (potências): a potência entregue ao reservatório quente é a soma do calor extraído do frio com o trabalho fornecido:
\dot{Q}_{q}=\dot{Q}_{c}+\dot{W}.
Aqui \dot{Q}_{q} é a potência térmica rejeitada ao ambiente, \dot{Q}_{c} é a potência térmica retirada do interior frio e \dot{W} é a potência elétrica de entrada (o que queremos).
  1. Para um ciclo reversível entre temperaturas T_{q} e T_{f} vale a relação de Carnot entre as trocas de calor:
\frac{\dot{Q}_{q}}{\dot{Q}_{c}}=\frac{T_{q}}{T_{f}}.
Isto significa que as razões entre calores trocados são iguais às razões das temperaturas absolutas (isso é consequência direta da reversibilidade e da definição de entropia).
Agora usamos essas duas relações para eliminar \dot{Q}_{q} e achar \dot{W}. Da segunda equação:
\dot{Q}_{q}=\dot{Q}_{c}\,\frac{T_{q}}{T_{f}}.
Substituindo no balanço de energia:
\dot{Q}_{c}\,\frac{T_{q}}{T_{f}}=\dot{Q}_{c}+\dot{W}.
Isolando \dot{W}:
\dot{W}=\dot{Q}_{c}\left(\frac{T_{q}}{T_{f}}-1\right)=\dot{Q}_{c}\,\frac{T_{q}-T_{f}}{T_{f}}.
Outra forma equivalente (muito usada) envolve o coeficiente de desempenho (COP) da geladeira, definido como
\mathrm{COP}=\frac{\dot{Q}_{c}}{\dot{W}}.
Para uma geladeira de Carnot
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_{f}}{T_{q}-T_{f}}.
As duas formas levam ao mesmo valor de \dot{W}.

Passo 3

Aplicando os números fornecidos. Primeiro calculemos o \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}:
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_{f}}{T_{q}-T_{f}}=\frac{260}{300-260}=\frac{260}{40}=6{,}5.
Interpretação rápida: a geladeira ideal precisa de 1 watt de trabalho para cada 6{,}5 watts de remoção de calor.

Passo 4

Agora calculamos a potência elétrica necessária \dot{W} usando \dot{W}=\dfrac{\dot{Q}_{c}}{\mathrm{COP}}:
\dot{W}=\frac{\dot{Q}_{c}}{\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}}=\frac{300}{6{,}5}.
Fazendo a conta de forma exata:
\frac{300}{6{,}5}=\frac{300}{13/2}=300\cdot\frac{2}{13}=\frac{600}{13}\\ \mathrm{W}\approx46{,}1538\\ \mathrm{W}.
Arredondando razoavelmente: \dot{W}\approx46{,}15\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Cheque rápido (consistência): a potência rejeitada ao ambiente seria
\dot{Q}_{q}=\dot{Q}_{c}+\dot{W}=300+46{,}1538=346{,}1538\\ \mathrm{W},
e a razão \dfrac{\dot{Q}_{q}}{\dot{Q}_{c}}=\dfrac{346{,}1538}{300}=1{,}153846 que é igual a \dfrac{T_{q}}{T_{f}}=\dfrac{300}{260}=1{,}153846. Tudo bate certinho — sinal de que os cálculos estão corretos.

Resposta

\dfrac{600}{13}\\ \mathrm{W}\approx46{,}15\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados