Uma máquina térmica de Carnot ideal opera entre as temperaturas de 627^{\circ} \mathrm{C} e 127^{\circ} \mathrm{C} com uma injeção de calor por ciclo de 250 J. Determine o trabalho mecânico realizado por esta máquina em Joules (J).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (listei exatamente o que foi pedido):
  • Temperatura da fonte quente: \,627^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da fonte fria: \,127^\circ\mathrm{C}.
  • Injeção de calor por ciclo (calor recebido da fonte quente): \,250\\ \text{J}.
    O que o problema pede:
  • Determinar o trabalho mecânico realizado por ciclo por essa máquina de Carnot ideal, em joules.

Passo 2

Primeiro precisamos transformar as temperaturas de graus Celsius para kelvin, porque as fórmulas termodinâmicas exigem temperatura em kelvin. A relação é:
T(\text{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273.
Aqui usei +273 para obter números inteiros (na prática usa-se +273{,}15, que dá diferença muito pequena para este tipo de cálculo). Convertendo:
T_h = 627 + 273 = 900\\ \text{K}, \qquad T_c = 127 + 273 = 400\\ \text{K}.
Em que:
  • T_h é a temperatura da fonte quente (em kelvin);
  • T_c é a temperatura da fonte fria (em kelvin).

Passo 3

Agora a fórmula da eficiência de uma máquina de Carnot reversível: a eficiência térmica \eta (fração do calor absorvido que vira trabalho) é
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Explicando as variáveis:
  • \eta é adimensional (fração entre 0 e 1);
  • \dfrac{T_c}{T_h} é a razão entre as temperaturas absolutas da fonte fria e da fonte quente.
    Essa fórmula vem da análise ideal de ciclos reversíveis: a parte do calor que não pode ser convertida em trabalho é proporcional à razão das temperaturas.

Passo 4

Calculemos a eficiência com os T_h e T_c que achamos:
\eta = 1 - \frac{400}{900}.
Simplificando a fração:
\frac{400}{900}=\frac{4}{9}, \qquad\text{logo}\qquad \eta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}.
Em forma decimal, \dfrac{5}{9}\approx0{,}555\ldots (ou seja, cerca de 55{,}6\% de rendimento).

Passo 5

O trabalho por ciclo W é a eficiência vezes o calor recebido \,Q_{\text{in}}:
W = \eta \, Q_{\text{in}}.
Substituindo \eta=\dfrac{5}{9} e Q_{\text{in}}=250\\ \text{J}:
W = \frac{5}{9}\cdot 250 = \frac{1250}{9}\\ \text{J}.
Fazendo a divisão:
\frac{1250}{9}\\ \text{J}\approx 138{,}888\ldots\\ \text{J}.

Passo 6

Interpretação final rápida (para te dar confiança): isso significa que, de cada 250\\ \text{J} retirados da fonte quente num ciclo ideal, cerca de 138{,}9\\ \text{J} são convertidos em trabalho e o restante é rejeitado para a fonte fria.

Resposta

\dfrac{1250}{9}\\ \text{J}\approx 138{,}9\\ \text{J}

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