Suponha que a capacidade térmica a volume constante C_{V} de uma substância é uma função apenas da temperatura tal que C_{V}(T)=a+b T (sendo a e b constantes):
Calcule a variação da energia interna em função da temperatura \Delta U(T) :
\Delta U=\int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{V}(T) d T

Passo 1

O enunciado pede calcular a variação da energia interna
\Delta U=\int_{T_{1}}^{T_{2}}C_{V}(T)\,dT
sabendo que C_{V}(T)=a+b\,T. O conteúdo principal aqui é a integração de um polinômio em T.

Passo 2

Primeiro encontramos uma primitiva de C_{V}(T). Temos
\int C_{V}(T)\,dT=\int\bigl(a+b\,T\bigr)\,dT
que se separa em
\int a\,dT = a\,T,
\int b\,T\,dT = \frac{b}{2}\,T^2.
Logo uma primitiva é
U(T)=a\,T+\frac{b}{2}\,T^2 + \text{constante}.

Passo 3

Agora aplicamos os limites de T_{1} a T_{2}:
\Delta U = U(T_{2}) - U(T_{1}) = \Bigl[a\,T+\tfrac{b}{2}T^2\Bigr]_{T_{1}}^{T_{2}} = a\,(T_{2}-T_{1}) + \frac{b}{2}\,\bigl(T_{2}^2 - T_{1}^2\bigr).

Resposta

\Delta U = a\,(T_{2}-T_{1}) + \frac{b}{2}\,(T_{2}^2 - T_{1}^2).

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