Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \sqrt{x} \operatorname{sen}\left(1+x^{3 / 2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\bigl(1+x^{3/2}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos a composição de x^{3/2} dentro do seno e a presença de \sqrt{x}\,dx, que é quase proporcional à derivada de x^{3/2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = 1 + x^{3/2}.
Isso deve simplificar o argumento do seno.

Passo 3

Calculamos dt. Como x^{3/2} = x^{1,5}, temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\bigr) = \frac{3}{2}\,x^{1/2},
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dt = \frac{3}{2}\,x^{1/2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}\,dt.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
\int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\bigl(1+x^{3/2}\bigr)\,dx = \int \operatorname{sen}(t)\,\frac{2}{3}\,dt = \frac{2}{3}\int \operatorname{sen}(t)\,dt = -\frac{2}{3}\cos(t) + C.
Voltando à variável x, temos t = 1 + x^{3/2}.

Resposta

-\frac{2}{3}\cos\bigl(1 + x^{3/2}\bigr) + C.

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