Suponha que a capacidade térmica a volume constante C_{V} de uma substância é uma função apenas da temperatura tal que C_{V}(T)=a+b T (sendo a e b constantes):
Calcule a variação da entropia em função da temperatura \Delta S(T) válida para um processo isocórico:
\Delta S=\int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{C_{V}(T)}{T} d T

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia \Delta S num processo isocórico sabendo que a capacidade térmica a volume constante é
C_{V}(T)=a+b\,T
com a e b constantes, e que
\Delta S=\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{C_{V}(T)}{T}\,dT.
O conteúdo necessário é cálculo de integrais elementares, separando termos em função de T.

Passo 2

Substituímos C_{V}(T) na integral:
\Delta S=\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{a+b\,T}{T}\,dT.

Passo 3

Fazemos a divisão no integrando para separar em duas partes:
\frac{a+b\,T}{T}=\frac{a}{T}+b.
Logo,
\Delta S=\int_{T_{1}}^{T_{2}}\Bigl(\frac{a}{T}+b\Bigr)\,dT =\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{a}{T}\,dT+\int_{T_{1}}^{T_{2}}b\,dT.

Passo 4

Calculamos cada integral:
  1. \displaystyle \int\frac{a}{T}\,dT=a\int\frac{1}{T}\,dT=a\ln T.
  2. \displaystyle \int b\,dT=b\,T.

Passo 5

Avaliamo de T_{1} a T_{2}:
\Delta S=\bigl[a\ln T\bigr]_{T_{1}}^{T_{2}}+\bigl[b\,T\bigr]_{T_{1}}^{T_{2}} =a\bigl(\ln T_{2}-\ln T_{1}\bigr)+b\bigl(T_{2}-T_{1}\bigr).

Resposta

\displaystyle \Delta S = a\,\ln\frac{T_{2}}{T_{1}} \;+\; b\,\bigl(T_{2}-T_{1}\bigr).

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