4- Suponha que uma central telefônica recebeu 270 chamadas num período de 3 horas, ou seja, 1,5 chamadas por minuto. Deseja-se calcular a probabilidade de que nos próximos 3 minutos sejam recebidas 0,1,2, etc. chamadas.

Passo 1

O enunciado nos diz que a central telefônica recebe, em média, 1,5 chamadas por minuto. Queremos a probabilidade de receber k chamadas nos próximos 3 minutos, isto é, em um intervalo de tempo no qual a taxa é constante. O modelo adequado é o processo de Poisson.

Passo 2

Em um processo de Poisson com taxa \lambda (chamadas por minuto), o número de chamadas em um intervalo de duração t minutos segue distribuição de Poisson com parâmetro
\mu = \lambda\,t.
Aqui \lambda = 1,5 chamadas/minuto e t = 3 minutos, logo
\mu = 1,5 \times 3 = 4,5.

Passo 3

Seja X o número de chamadas em 3 minutos. Então
X \sim \text{Poisson}(4,5),
e para k = 0,1,2,\dots vale
P(X = k) = \frac{e^{-4,5}\,(4,5)^{k}}{k!}.
Por exemplo,
P(X=0)=e^{-4,5}\approx0,0111,
P(X=1)=4,5\,e^{-4,5}\approx0,0499,
P(X=2)=\frac{(4,5)^{2}}{2!}\,e^{-4,5}\approx0,112.

Resposta

Para k=0,1,2,\dots:
P(X = k) = \frac{e^{-4,5}\,(4,5)^{k}}{k!}.

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