2- A agência de Proteção Ambiental usou um teste de escapamento para determinar quais de 116.667 carros geravam muita poluição. Estima-se que 1% dos carros não passe no teste.
a. Se selecionarmos aleatoriamente 20 carros de um grupo de 116.667, quantos esperamos que não passe no teste?
b. Ache o desvio padrão para o número de carros em grupos de 20 que não passam nesse teste.
c. Ache a probabilidade de que, em um grupo de 20 carros selecionados aleatoriamente, haja pelo menos um que não passe no teste.
d. É não usual verificar-se que, em um grupo de 20 carros selecionados aleatoriamente, haja 3 que não passem no teste? Justifique.

Passo 1

O enunciado fala de um teste de escapamento em que cada carro tem probabilidade p=0{,}01 de não passar. Selecionamos n=20 carros, e queremos analisar o número X de carros que não passam. Isso segue uma distribuição binomial com parâmetros n=20 e p=0{,}01.

Passo 2

Para a binomial \mathrm{Bin}(n,p), o valor esperado é
E[X] = n\,p.
Substituindo n=20 e p=0{,}01, temos
E[X] = 20 \times 0{,}01 = 0{,}20.

Passo 3

O desvio padrão de \mathrm{Bin}(n,p) é
\sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)}.
Então
\sigma = \sqrt{20 \times 0{,}01 \times 0{,}99} = \sqrt{0{,}198} \approx 0{,}445.

Passo 4

A probabilidade de “pelo menos um” carro não passar é
P(X \ge 1) = 1 - P(X=0).
E
P(X=0) = (1-p)^n = 0{,}99^{20} \approx 0{,}817.
Logo
P(X \ge 1) = 1 - 0{,}817 = 0{,}183.

Passo 5

Para ver se X=3 é incomum, calculamos
P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \bigl[P(0)+P(1)+P(2)\bigr].
Já temos P(0)=0{,}817. Além disso,
P(1) = \binom{20}{1}(0{,}01)^1(0{,}99)^{19}\approx0{,}165,
P(2) = \binom{20}{2}(0{,}01)^2(0{,}99)^{18}\approx0{,}0159.
Somando,
P(X \le 2)\approx0{,}817+0{,}165+0{,}0159=0{,}998.
Então
P(X \ge 3)\approx1 - 0{,}998 = 0{,}002.
Como 0{,}002<0{,}05, ter 3 ou mais carros reprovados é considerado “incomum”.

Resposta

a) E[X]=0{,}20.
b) \sigma=\sqrt{0{,}198}\approx0{,}445.
c) P(X\ge1)=1-0{,}99^{20}\approx0{,}183.
d) Sim, é incomum, pois P(X\ge3)\approx0{,}002<0{,}05.

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