3- Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle de qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão requerido, a produção é interrompida para regulagem toda vez que uma peça defeituosa é observada. Se 0,01 é a probabilidade da peça ser defeituosa, estude o comportamento da variável Q, quantidades de peças boas produzidas antes da primeira defeituosa.

Passo 1

O enunciado define a variável aleatória Q como a quantidade de peças boas produzidas antes de surgir a primeira peça defeituosa, quando cada peça tem probabilidade p=0,01 de ser defeituosa, independente das demais. O conteúdo é distribuição geométrica no caso “número de sucessos (peças boas) antes do primeiro fracasso (defeito)”.

Passo 2

Para esse modelo, a função massa de probabilidade (pmf) de uma distribuição geométrica do tipo “sucessos antes do primeiro fracasso” é
P(Q = k) \;=\;(1-p)^{k}\,p, \quad k = 0,1,2,\dots
Substituindo p=0,01,
P(Q = k) \;=\;0{,}99^{\,k}\times 0{,}01.

Passo 3

A função de distribuição acumulada (cdf) é
F_Q(k)\;=\;P(Q \le k) \;=\;1 - (1-p)^{\,k+1} \;=\;1 - 0{,}99^{\,k+1}.

Passo 4

A esperança matemática de Q é, no caso geométrico “sucessos antes do primeiro fracasso”,
E[Q] \;=\;\frac{1-p}{p} \;=\;\frac{1 - 0{,}01}{0{,}01} \;=\;99.

Passo 5

A variância de Q é
\mathrm{Var}(Q) \;=\;\frac{1-p}{p^2} \;=\;\frac{0{,}99}{(0{,}01)^2} \;=\;9900.

Resposta

Pmf: \displaystyle P(Q = k)=0{,}99^{\,k}\cdot0{,}01,\;k=0,1,2,\dots
Cdf: \displaystyle F_Q(k)=1-0{,}99^{\,k+1}
Esperança: \displaystyle E[Q]=99
Variância: \displaystyle \mathrm{Var}(Q)=9900

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