Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há
de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de
. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
- Informação 1: Em cada dia só pode ocorrer uma das duas condições meteorológicas: ensolarado ou chuvoso.
- Informação 2: Se hoje é ensolarado, a probabilidade de amanhã também ser ensolarado é
. - Informação 3: Se hoje é chuvoso, a probabilidade de amanhã também ser chuvoso é
. - Pergunta: Qual é a probabilidade aproximada de que, no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos, o dia seja ensolarado? As alternativas dadas são:
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 2
Modelagem (o que os dados significam): vamos tratar os dias como etapas de uma cadeia de Markov com dois estados:
= “ensolarado” e
= “chuvoso”. A informação sobre probabilidades de sucessão nos diz as probabilidades de transição de um dia para o seguinte:
-
e então . -
e então .
Escrevendo a matriz de transição (linhas = estado de hoje, colunas = estado de amanhã), ordem dos estados
:
Aqui cada entrada
é a probabilidade de ir do estado
hoje para o estado
amanhã.]
Passo 3
Ideia-chave (aula rápida): cadeias de Markov com número finito de estados muitas vezes têm uma distribuição estacionária
tal que, se a cadeia estiver nessa distribuição, a distribuição não muda após uma transição:
A componente
é a probabilidade de estar em
no equilíbrio e
a probabilidade de estar em
no equilíbrio, com
.
Intuição prática: para horizontes muito longos (aqui 20 anos = muitos passos diários), a distribuição do tempo tende a essa distribuição estacionária, independentemente do estado inicial, desde que a cadeia seja “bem comportada” (aqui ela é: é possível ir de qualquer estado a qualquer outro em alguns passos e não fica presa em ciclos estritos). Por isso podemos aproximar a probabilidade pedida pela componente estacionária
.
Passo 4
Como calcular
: escrevemos as equações de equilíbrio. Se
é a probabilidade estacionária de sol e
a de chuva, então
e
Substituímos
na primeira equação para ficar só com
:
Passo 5
Resolvendo a equação passo a passo:
Agrupando os termos que têm
:
O termo à esquerda é
. Então
Dividindo ambos os lados por
:
Convertendo para porcentagem:
Comentário intuitivo final: como
anos correspondem a um número enorme de passos (aproximadamente
dias), a distribuição nessa data estará essencialmente igual à distribuição estacionária que acabamos de calcular, isto é, cerca de
.
Resposta
(B)