Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 65 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 90 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 21.2 \%
(B) 22.2 \%
(C) 23.2 \%
(D) 24.2 \%

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Informação 1: Em cada dia só pode ocorrer uma das duas condições meteorológicas: ensolarado ou chuvoso.
  • Informação 2: Se hoje é ensolarado, a probabilidade de amanhã também ser ensolarado é \,65\%.
  • Informação 3: Se hoje é chuvoso, a probabilidade de amanhã também ser chuvoso é \,90\%.
  • Pergunta: Qual é a probabilidade aproximada de que, no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos, o dia seja ensolarado? As alternativas dadas são:
    (A) 21,2\%
    (B) 22,2\%
    (C) 23,2\%
    (D) 24,2\%

Passo 2

Modelagem (o que os dados significam): vamos tratar os dias como etapas de uma cadeia de Markov com dois estados: S = “ensolarado” e R = “chuvoso”. A informação sobre probabilidades de sucessão nos diz as probabilidades de transição de um dia para o seguinte:
  • P(S\to S)=0,65 e então P(S\to R)=1-0,65=0,35.
  • P(R\to R)=0,90 e então P(R\to S)=1-0,90=0,10.
Escrevendo a matriz de transição (linhas = estado de hoje, colunas = estado de amanhã), ordem dos estados (S,R):
P = \begin{pmatrix} 0,65 & 0,35\\[4pt] 0,10 & 0,90 \end{pmatrix}
Aqui cada entrada P_{ij} é a probabilidade de ir do estado i hoje para o estado j amanhã.]

Passo 3

Ideia-chave (aula rápida): cadeias de Markov com número finito de estados muitas vezes têm uma distribuição estacionária \pi tal que, se a cadeia estiver nessa distribuição, a distribuição não muda após uma transição:
\pi = \pi P.
A componente \pi_S é a probabilidade de estar em S no equilíbrio e \pi_R a probabilidade de estar em R no equilíbrio, com \pi_S+\pi_R=1.
Intuição prática: para horizontes muito longos (aqui 20 anos = muitos passos diários), a distribuição do tempo tende a essa distribuição estacionária, independentemente do estado inicial, desde que a cadeia seja “bem comportada” (aqui ela é: é possível ir de qualquer estado a qualquer outro em alguns passos e não fica presa em ciclos estritos). Por isso podemos aproximar a probabilidade pedida pela componente estacionária \pi_S.

Passo 4

Como calcular \pi: escrevemos as equações de equilíbrio. Se \pi_S é a probabilidade estacionária de sol e \pi_R a de chuva, então
\pi_S = \pi_S\cdot 0,65 + \pi_R\cdot 0,10
e
\pi_S + \pi_R = 1.
Substituímos \pi_R = 1-\pi_S na primeira equação para ficar só com \pi_S:
\pi_S = 0,65\,\pi_S + 0,10\,(1-\pi_S).

Passo 5

Resolvendo a equação passo a passo:
\pi_S = 0,65\,\pi_S + 0,10 - 0,10\,\pi_S.
Agrupando os termos que têm \pi_S:
\pi_S - 0,65\,\pi_S + 0,10\,\pi_S = 0,10.
O termo à esquerda é (1 - 0,65 + 0,10)\pi_S = 0,45\,\pi_S. Então
0,45\,\pi_S = 0,10.
Dividindo ambos os lados por 0,45:
\pi_S = \frac{0,10}{0,45} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}.
Convertendo para porcentagem:
\pi_S = \frac{2}{9}\approx 0,2222\ldots = 22,22\ldots\%.
Comentário intuitivo final: como 20 anos correspondem a um número enorme de passos (aproximadamente 20\times 365 dias), a distribuição nessa data estará essencialmente igual à distribuição estacionária que acabamos de calcular, isto é, cerca de 22{,}2\%.

Resposta

(B) 22,2\%

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