Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se o polinômio característico de F possui pelo menos uma raiz complexa não-real, então F não é diagonalizável.
II - Toda rotação em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo z é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas sobre operadores lineares e pede que decidamos quais são verdadeiras ou falsas:
I - “Se o polinômio característico de F possui pelo menos uma raiz complexa não-real, então F não é diagonalizável.”
II - “Toda rotação em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo z é diagonalizável.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As duas frases referem-se a diagonalizabilidade de operadores/matrizes.
A afirmativa II fala explicitamente em rotações em \mathbb{R}^{3}, então o contexto natural para julgar diagonalizabilidade é sobre o corpo dos números reais (ou seja, diagonalização por uma matriz real).
Precisamos decidir quais das afirmativas são verdadeiras e quais são falsas.
Passo 2
Vamos lembrar (explicar) passo a passo o que significa diagonalizável e qual a relação com as raízes do polinômio característico.
Definição e consequência básica:
Dizemos que um operador linear F em um espaço vetorial de dimensão finita é diagonalizável (sobre um corpo K) se existe uma base do espaço formada por autovetores de F. Na matriz dessa base, F fica representada por uma matriz diagonal cujas entradas são autovalores (possivelmente repetidos).
Se F é diagonalizável sobre K, então todos os autovalores aparecem como entradas na diagonal de uma matriz real (se K=\mathbb{R}) ou complexa (se K=\mathbb{C}). Em particular, para diagonalização sobre \mathbb{R} é necessário que exista uma base real de autovetores; portanto todos os autovalores que aparecem na diagonal devem ser números reais.
Relação com o polinômio característico:
O polinômio característico de F (digamos \chi_F(t)) tem raízes que são exatamente os autovalores de F, contadas com multiplicidade algébrica. Ter uma raiz complexa não-real significa que existe um autovalor que não é real.
Observação importante (que veremos aplicada): diagonalizabilidade depende do corpo sobre o qual buscamos autovetores. Um operador pode ser não diagonalizável sobre \mathbb{R} e ser diagonalizável sobre \mathbb{C}.
Passo 3
Análise detalhada da afirmativa I.
Afirmativa I: “Se o polinômio característico de F possui pelo menos uma raiz complexa não-real, então F não é diagonalizável.”
Interpretação cuidadosa do enunciado:
Como a afirmativa não especifica o corpo, há ambiguidade. Contudo, dado que a afirmativa II envolve \mathbb{R}^{3}, é natural interpretar aqui que estamos falando de diagonalização sobre \mathbb{R}. Vou expor os dois pontos de vista para ficar claro.
Caso 1 — interpretando sobre \mathbb{R}:
Se \chi_F(t) tem uma raiz complexa não-real, então F tem um autovalor não real. Para que F fosse diagonalizável sobre \mathbb{R} precisaríamos de uma base real de autovetores; isso exigiria que todos os autovalores correspondentes fossem reais (pois a diagonal teria entradas reais). Logo, a existência de um autovalor não real impede a diagonalização por uma matriz real. Portanto, sob essa interpretação (diagonalização em \mathbb{R}) a afirmativa I é verdadeira.
Explicação intuitiva: uma matriz diagonal real só pode ter entradas reais na diagonal; se um autovalor é não real, ele não pode aparecer como entrada real numa diagonal real — logo não existe diagonalização real.
Caso 2 — interpretando sobre \mathbb{C}:
Sobre \mathbb{C} a situação muda: ter uma raiz complexa não-real não impede, de modo geral, que F seja diagonalizável — muitas matrizes com autovalores complexos distintos são diagonalizáveis sobre \mathbb{C}. Exemplo simples: a matriz \begin{pmatrix} i & 0 \\\\ 0 & -i \end{pmatrix} tem raízes i e -i (não-reais) e é diagonal (logo diagonalizável) quando trabalhamos sobre \mathbb{C}.
Conclusão para I:
A afirmativa I, lida sem especificar o corpo, é falsa (porque sobre \mathbb{C} não é correta). Mas, no contexto real (diagonalização em \mathbb{R}), é verdadeira. Dado que a pergunta traz \mathbb{R}^{3} na II, a interpretação natural para este exercício é verificar diagonalizabilidade sobre \mathbb{R}. Portanto, sob essa interpretação, I é verdadeira.
Passo 4
Exemplo concreto para fixar a ideia (didático, sem pular etapas).
Exemplo 1 (não diagonalizável sobre \mathbb{R}, mas diagonalizável sobre \mathbb{C}):
Considere a rotação de 90^\circ no plano \mathbb{R}^2 representada por
O polinômio característico é \chi_R(t) = t^{2}+1, cujas raízes são t = i e t = -i, não reais.
Sobre \mathbb{R}, R não possui autovetores reais (nenhum vetor real satisfaz R v = \lambda v com \lambda\in\mathbb{R}), portanto R não é diagonalizável em \mathbb{R}.
Sobre \mathbb{C}, R tem dois autovalores distintos i e -i e é diagonalizável (existe base complexa de autovetores). Assim, isso ilustra a dependência do corpo.]
Passo 5
Análise detalhada da afirmativa II.
Afirmativa II: “Toda rotação em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo z é diagonalizável.”
Modelo da rotação em coordenadas padrão:
Em coordenadas canônicas (x,y,z), uma rotação de ângulo \theta em torno do eixo z tem a matriz (bloco) padrão
Essa matriz é composta por um bloco 2\times2 de rotação na subvariedade xy-plano e por 1 na coordenada z.
Cálculo dos autovalores:
O bloco 2\times2 tem polinômio característico t^{2}-2(\cos\theta) t +1, cujas raízes são e^{i\theta} e e^{-i\theta}. Assim os autovalores da matriz completa são
1,\quad e^{i\theta},\quad e^{-i\theta}.
Para \theta tal que 0<\theta<\pi e \theta\neq\pi, os valores e^{i\theta} e e^{-i\theta} são complexos não-reais (conjugados). Portanto, sobre \mathbb{R} esses autovalores não são reais.
Consequência sobre diagonalizabilidade em \mathbb{R}:
Se uma rotação tem autovalores não-reais, ela não pode ser diagonalizada por uma matriz real (mesma razão do Passo 3): uma matriz diagonal real exigiria entradas reais na diagonal.
Logo, rotações em \mathbb{R}^3 em torno do eixo z com ângulo \theta que não seja 0 nem \pi não são diagonalizáveis sobre \mathbb{R}.
Casos especiais:
Se \theta=0 (rotacão identidade), a matriz é a identidade e é diagonalizável (todas as entradas diagonais iguais a 1).
cujo polinômio característico é (t+1)^{2}(t-1). Nesse caso todos os autovalores são reais (-1,-1,1) e a matriz é diagonal (já está em forma diagonal), portanto diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Conclusão: nem toda rotação em torno do eixo z é diagonalizável sobre \mathbb{R}; somente as com \theta=0 ou \theta=\pi (e, mais genericamente, quando os autovalores no bloco 2\times2 são reais) são diagonalizáveis em \mathbb{R}.
Comentário adicional (sobre \mathbb{C}):
Se permitirmos trabalhar sobre \mathbb{C}, então os autovalores e^{i\theta},e^{-i\theta} são aceitáveis e a matriz R_z(\theta) é diagonalizável sobre \mathbb{C} (é unitariamente diagonalizável, pois é normal). Mas de novo, o enunciado II menciona \mathbb{R}^3, então a análise natural é em \mathbb{R}.]
Passo 6
Síntese final das duas afirmativas, com a justificativa curta e direta:
I: Interpretando diagonalização em \mathbb{R} (contexto com \mathbb{R}^3), se o polinômio característico tem uma raiz complexa não-real então existe autovalor não real e não há base real de autovetores → F não é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Logo I é verdadeira no contexto real. (Observação: I seria falsa se interpretarmos diagonalizabilidade sobre \mathbb{C}.)
II: Nem toda rotação em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo z é diagonalizável sobre \mathbb{R}: rotações com ângulo \theta diferente de 0 e \pi têm um bloco 2\times2 de rotação com autovalores complexos não-reais e, portanto, não são diagonalizáveis sobre \mathbb{R}. Logo II é falsa.
Portanto, no contexto real apropriado, apenas a afirmativa I é verdadeira.