Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam \lambda um autovalor da matriz A e H o respectivo autoespaço. Então \lambda^{2} é autovalor de A^{2}, mas o autoespaço associado pode não ser H.
II - Se A=P B P^{-1} com P inversível, então A e B têm o mesmo polinômio característico.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmativas e pede para decidir quais são verdadeiras:
I - Sejam \lambda um autovalor da matriz A e H o respectivo autoespaço. Então \lambda^{2} é autovalor de A^{2}, mas o autoespaço associado pode não ser H.
II - Se A=P B P^{-1} com P inversível, então A e B têm o mesmo polinômio característico.
Informações relevantes dadas:
  • Em I temos uma matriz A, um autovalor \lambda e o autoespaço H=\{v\neq0 \mid A v=\lambda v\}.
  • Em II temos que A e B são semelhantes via uma matriz invertível P, ou seja, A=PBP^{-1}.
  • A pergunta final é escolher entre as alternativas: (A) todas falsas; (B) só I verdadeira; (C) só II verdadeira; (D) todas verdadeiras.

Passo 2

Antes de partir para as provas, vamos lembrar certinho o que é cada coisa (aula curta e prática):
  • Autovalor: \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que A v=\lambda v. Esse v é autovetor associado.
  • Autoespaço (autovetor-espaço) associado a \lambda: é o conjunto H=\{v\in\mathbb{R}^n\\ (\text{ou }\mathbb{C}^n)\mid A v=\lambda v\}. É um subespaço vetorial.
  • Polinômio característico de uma matriz M é \chi_M(t)=\det(tI-M). As raízes (contadas com multiplicidade) são os autovalores.
Vou usar essas definições passo a passo para justificar cada afirmativa.

Passo 3

Prova da primeira parte de I (por que \lambda^{2} é autovalor de A^{2}):
Se v é um autovetor de A associado a \lambda, então por definição
A v=\lambda v.
Aplicando A novamente em ambos os lados obtemos
A^{2} v = A(Av) = A(\lambda v) = \lambda (A v) = \lambda(\lambda v)=\lambda^{2} v.
Logo v é autovetor de A^{2} associado a \lambda^{2}. Assim \lambda^{2} é autovalor de A^{2}. (Explicação: aplicamos a mesma transformação duas vezes; se a primeira aplicação só escala por \lambda, a segunda escala de novo, totalizando \lambda^2.)

Passo 4

Relação entre o autoespaço H de A e o autoespaço de A^{2} associado a \lambda^{2}:
Se v\in H então A v=\lambda v e, pelo passo anterior, A^{2} v=\lambda^{2} v. Portanto todo vetor de H também pertence ao autoespaço de A^{2} relativo a \lambda^{2}. Em notação:
H \subseteq \{w\neq0 \mid A^{2} w=\lambda^{2} w\}.
Ou seja, sempre há inclusão de H no autoespaço de A^{2} para \lambda^{2}.

Passo 5

Por que o autoespaço associado a \lambda^{2} pode não ser igual a H? (ou seja, a inclusão pode ser estrita)
Explicação conceitual: vetores w que satisfazem A^{2} w=\lambda^{2} w não precisam satisfazer A w=\lambda w. Podem ocorrer duas situações típicas que explicam isso:
  • Pode acontecer que A w=-\lambda w. Então A^{2}w=(-\lambda)^{2}w=\lambda^{2}w, mas w\notin H porque A w\neq\lambda w.
  • Para \lambda=0 há casos onde A é nilpotente (por exemplo uma Jordan block não-diagonalizável), fazendo A^{2}=0 e assim o autoespaço de A^{2} para 0 pode ser muito maior que o de A.

Passo 6

Dê um exemplo concreto e simples que mostra a diferença (exemplo numérico, bem mastigado):
Considere a matriz diagonal
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Aqui \lambda=1 é autovalor de A. O autoespaço H associado a \lambda=1 é
H=\text{span}\{(1,0)^{T}\},
porque A(1,0)^{T}=(1,0)^{T} e nenhum múltiplo de (0,1)^{T} é autovetor com valor 1.
Agora calcule
A^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I.
O autovalor correspondente é \lambda^{2}=1, e o autoespaço de A^{2} para 1 é todo \mathbb{R}^{2}, porque I w = 1\cdot w para qualquer w. Assim o autoespaço de A^{2} é maior que H \mathbb{R}^2), então não coincide com H. Isso mostra que a afirmação "o autoespaço associado pode não ser H" é verdadeira em geral.]

Passo 7

Conclusão sobre I: juntando o argumento algébrico (se A v=\lambda v então A^{2} v=\lambda^{2} v, logo \lambda^{2} é autovalor de A^{2}) com o exemplo que mostra que o autoespaço pode aumentar, concluímos que a afirmativa I é verdadeira.

Passo 8

Agora vamos para a afirmativa II. Relembrando: se A=PBP^{-1} com P inversível, queremos ver se \chi_A(t)=\chi_B(t), onde \chi_M(t)=\det(tI-M).

Passo 9

Prova de II (passo a passo com determinante):
Começamos com a definição do polinômio característico de A:
\chi_A(t)=\det\bigl(tI-A\bigr).
Substituindo A=PBP^{-1} obtemos
\chi_A(t)=\det\bigl(tI-PBP^{-1}\bigr).
Reescrevemos tI-PBP^{-1} como
tI-PBP^{-1}=P\bigl(tP^{-1}P - B\bigr)P^{-1}=P\bigl(tI-B\bigr)P^{-1},
pois P^{-1}P=I. Agora usamos a propriedade do determinante multiplicativo \det(XYZ)=\det(X)\det(Y)\det(Z). Assim
\chi_A(t)=\det\bigl(P(tI-B)P^{-1}\bigr)=\det(P)\det(tI-B)\det(P^{-1}).
Como \det(P^{-1})=1/\det(P), o fator \det(P) cancela com \det(P^{-1}), sobrando
\chi_A(t)=\det(tI-B)=\chi_B(t).
Portanto matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico.

Passo 10

Conclusão sobre II: a prova acima mostra que II é verdadeira.

Passo 11

Resumo final (animador): I é verdadeira (existe argumento geral e contraexemplo que mostra autoespaço pode mudar) e II é verdadeira (polinômio característico é invariante por similaridade). Então as duas afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(D) Todas são verdadeiras.

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