Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam
um autovalor da matriz
e
o respectivo autoespaço. Então
é autovalor de
, mas o autoespaço associado pode não ser
.
II - Se
com
inversível, então
e
têm o mesmo polinômio característico.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Sejam
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá duas afirmativas e pede para decidir quais são verdadeiras:
I - Sejam um autovalor da matriz
e
o respectivo autoespaço. Então
é autovalor de
, mas o autoespaço associado pode não ser
.
II - Se com
inversível, então
e
têm o mesmo polinômio característico.
I - Sejam
II - Se
Informações relevantes dadas:
- Em I temos uma matriz
, um autovalor e o autoespaço . - Em II temos que
e são semelhantes via uma matriz invertível , ou seja, . - A pergunta final é escolher entre as alternativas: (A) todas falsas; (B) só I verdadeira; (C) só II verdadeira; (D) todas verdadeiras.
Passo 2
Antes de partir para as provas, vamos lembrar certinho o que é cada coisa (aula curta e prática):
- Autovalor:
é autovalor de se existe vetor não-nulo tal que . Esse é autovetor associado. - Autoespaço (autovetor-espaço) associado a
: é o conjunto . É um subespaço vetorial. - Polinômio característico de uma matriz
é . As raízes (contadas com multiplicidade) são os autovalores.
Vou usar essas definições passo a passo para justificar cada afirmativa.
Passo 3
Prova da primeira parte de I (por que
é autovalor de
):
Se é um autovetor de
associado a
, então por definição
Se
Aplicando
novamente em ambos os lados obtemos
Logo
é autovetor de
associado a
. Assim
é autovalor de
. (Explicação: aplicamos a mesma transformação duas vezes; se a primeira aplicação só escala por
, a segunda escala de novo, totalizando
.)
Passo 4
Relação entre o autoespaço
de
e o autoespaço de
associado a
:
Se então
e, pelo passo anterior,
. Portanto todo vetor de
também pertence ao autoespaço de
relativo a
. Em notação:
Se
Ou seja, sempre há inclusão de
no autoespaço de
para
.
Passo 5
Por que o autoespaço associado a
pode não ser igual a
? (ou seja, a inclusão pode ser estrita)
Explicação conceitual: vetores que satisfazem
não precisam satisfazer
. Podem ocorrer duas situações típicas que explicam isso:
Explicação conceitual: vetores
- Pode acontecer que
. Então , mas porque . - Para
há casos onde é nilpotente (por exemplo uma Jordan block não-diagonalizável), fazendo e assim o autoespaço de para pode ser muito maior que o de .
Passo 6
Dê um exemplo concreto e simples que mostra a diferença (exemplo numérico, bem mastigado):
Considere a matriz diagonal
Considere a matriz diagonal
Aqui
é autovalor de
. O autoespaço
associado a
é
porque
e nenhum múltiplo de
é autovetor com valor
.
Agora calcule
Agora calcule
O autovalor correspondente é
, e o autoespaço de
para
é todo
, porque
para qualquer
. Assim o autoespaço de
é maior que
(é
), então não coincide com
. Isso mostra que a afirmação "o autoespaço associado pode não ser
" é verdadeira em geral.]
Passo 7
Conclusão sobre I: juntando o argumento algébrico (se
então
, logo
é autovalor de
) com o exemplo que mostra que o autoespaço pode aumentar, concluímos que a afirmativa I é verdadeira.
Passo 8
Agora vamos para a afirmativa II. Relembrando: se
com
inversível, queremos ver se
, onde
.
Passo 9
Prova de II (passo a passo com determinante):
Começamos com a definição do polinômio característico de :
Começamos com a definição do polinômio característico de
Substituindo
obtemos
Reescrevemos
como
pois
. Agora usamos a propriedade do determinante multiplicativo
. Assim
Como
, o fator
cancela com
, sobrando
Portanto matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico.
Passo 10
Conclusão sobre II: a prova acima mostra que II é verdadeira.
Passo 11
Resumo final (animador): I é verdadeira (existe argumento geral e contraexemplo que mostra autoespaço pode mudar) e II é verdadeira (polinômio característico é invariante por similaridade). Então as duas afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(D) Todas são verdadeiras.