Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há
de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de
. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
Enunciado e dados importantes (tudo que a questão fornece):
- Em cada dia pode ocorrer apenas uma de duas condições: ensolarado (vou chamar de
) ou chuvoso (vou chamar de ). - Se um dia é ensolarado, a probabilidade de o dia seguinte também ser ensolarado é
. Ou seja, . - Se um dia é chuvoso, a probabilidade de o dia seguinte também ser chuvoso é
. Ou seja, . - Complementando:
e . - Pergunta: qual é a probabilidade aproximada de que, no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos, o dia seja ensolarado?
- Observação relevante: o enunciado não diz qual é o estado (ensolarado ou chuvoso) no dia inicial de referência — vou mostrar que, para 20 anos à frente, essa falta de informação não importa porque a cadeia converge para uma distribuição limite.
Passo 2
Modelagem em forma de matriz de transição (representação clara dos dados):
- Defino o vetor de estados como
. - A matriz de transição, com linhas somando 1 (linha = estado atual, coluna = estado seguinte), é
onde a primeira linha corresponde a partir de
e a segunda a partir de
.
- Interpretação: a entrada
é , a é , etc.]
Passo 3
Como obter a probabilidade após
dias e ideia da distribuição estacionária:
- Se eu souber a distribuição inicial no dia 0 como vetor linha
, a distribuição após dias é
- Para muitas aplicações com cadeias de dois estados, existe uma distribuição estacionária
que satisfaz
e tal que, se a cadeia for irreducível e aperiódica,
quando
.
- Aqui vamos calcular
resolvendo as equações. A equação dá duas equações, mas basta usar uma delas e a condição . - Da igualdade na coordenada
:
Rearranjando:
Logo
Usando
:
Portanto a distribuição estacionária é
. Isso significa que, no longo prazo, a fração de dias ensolarados tende a
.
Passo 4
Por que podemos usar
como aproximação para 20 anos e quão rápido converge:
- A matriz
tem entradas positivas ( todas ), então a cadeia é irreducível e aperiódica. Isso garante convergência para conforme cresce. - Para quantificar a rapidez, calculamos os autovalores de
. O polinômio característico é
Aqui
e
. Assim o polinômio é
Resolvendo:
portanto os autovalores são
e
.
- Para uma cadeia de dois estados, a diferença entre
e decai geometricamente como . Aqui , então o erro decai como . - Mesmo se
for apenas (20 dias), — já praticamente zero. Se for 20 anos contados em dias (aprox. ), é absurdamente pequeno. Conclusão: em 20 anos a distribuição estará essencialmente igual a , independentemente do estado inicial.
Passo 5
Conclusão numérica e correspondência com as alternativas:
- A probabilidade aproximada de que, daqui a 20 anos, o dia seja ensolarado é a componente
da distribuição estacionária, isto é , ou . - Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (C).
Resposta
(C)