Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 40 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 10 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 58.0 \%
(B) 59.0 \%
(C) 60.0 \%
(D) 61.0 \%

Passo 1

Enunciado e dados importantes (tudo que a questão fornece):
  • Em cada dia pode ocorrer apenas uma de duas condições: ensolarado (vou chamar de S) ou chuvoso (vou chamar de C).
  • Se um dia é ensolarado, a probabilidade de o dia seguinte também ser ensolarado é 40\%. Ou seja, \mathbb{P}(S\to S)=0{,}4.
  • Se um dia é chuvoso, a probabilidade de o dia seguinte também ser chuvoso é 10\%. Ou seja, \mathbb{P}(C\to C)=0{,}1.
  • Complementando: \mathbb{P}(S\to C)=1-0{,}4=0{,}6 e \mathbb{P}(C\to S)=1-0{,}1=0{,}9.
  • Pergunta: qual é a probabilidade aproximada de que, no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos, o dia seja ensolarado?
  • Observação relevante: o enunciado não diz qual é o estado (ensolarado ou chuvoso) no dia inicial de referência — vou mostrar que, para 20 anos à frente, essa falta de informação não importa porque a cadeia converge para uma distribuição limite.

Passo 2

Modelagem em forma de matriz de transição (representação clara dos dados):
  • Defino o vetor de estados como (S,C).
  • A matriz de transição, com linhas somando 1 (linha = estado atual, coluna = estado seguinte), é
P=\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6\\[4pt] 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix},
onde a primeira linha corresponde a partir de S e a segunda a partir de C.
  • Interpretação: a entrada (1,1) é \mathbb{P}(S\to S)=0{,}4, a (1,2) é \mathbb{P}(S\to C)=0{,}6, etc.]

Passo 3

Como obter a probabilidade após n dias e ideia da distribuição estacionária:
  • Se eu souber a distribuição inicial no dia 0 como vetor linha v_0=(p_0(S),\,p_0\text{(C)}), a distribuição após n dias é
v_n = v_0 P^n.
  • Para muitas aplicações com cadeias de dois estados, existe uma distribuição estacionária \pi=(\pi_S,\pi_C) que satisfaz
\pi = \pi P,
e tal que, se a cadeia for irreducível e aperiódica, v_n\to\pi quando n\to\infty.
  • Aqui vamos calcular \pi resolvendo as equações. A equação \pi=\pi P dá duas equações, mas basta usar uma delas e a condição \pi_S+\pi_C=1.
  • Da igualdade na coordenada S:
\pi_S = 0{,}4\,\pi_S + 0{,}9\,\pi_C.
Rearranjando:
\pi_S - 0{,}4\,\pi_S = 0{,}9\,\pi_C \quad\Rightarrow\quad 0{,}6\,\pi_S = 0{,}9\,\pi_C.
Logo
\pi_C = \frac{0{,}6}{0{,}9}\pi_S = \frac{2}{3}\pi_S.
Usando \pi_S+\pi_C=1:
\pi_S + \frac{2}{3}\pi_S = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{3}\pi_S=1 \quad\Rightarrow\quad \pi_S=\frac{3}{5}=0{,}6.
Portanto a distribuição estacionária é \pi=(0{,}6,\,0{,}4). Isso significa que, no longo prazo, a fração de dias ensolarados tende a 60\%.

Passo 4

Por que podemos usar \pi como aproximação para 20 anos e quão rápido converge:
  • A matriz P tem entradas positivas ( 0{,}4,0{,}6,0{,}9,0{,}1 todas >0), então a cadeia é irreducível e aperiódica. Isso garante convergência para \pi conforme n cresce.
  • Para quantificar a rapidez, calculamos os autovalores de P. O polinômio característico é
\lambda^2 - (\text{trace }P)\lambda + \det P =0.
Aqui \text{trace }P=0{,}4+0{,}1=0{,}5 e \det P=0{,}4\cdot0{,}1-0{,}6\cdot0{,}9=0{,}04-0{,}54=-0{,}5. Assim o polinômio é
\lambda^2 - 0{,}5\lambda -0{,}5=0.
Resolvendo:
\lambda = \frac{0{,}5\pm\sqrt{0{,}25+2}}{2}=\frac{0{,}5\pm1{,}5}{2},
portanto os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=-0{,}5.
  • Para uma cadeia de dois estados, a diferença entre v_n e \pi decai geometricamente como \lambda_2^n. Aqui |\lambda_2|=0{,}5, então o erro decai como 0{,}5^n.
  • Mesmo se n for apenas 20 (20 dias), 0{,}5^{20}\approx9{,}54\times10^{-7} — já praticamente zero. Se n for 20 anos contados em dias (aprox. 20\cdot365\approx7300), 0{,}5^{7300} é absurdamente pequeno. Conclusão: em 20 anos a distribuição estará essencialmente igual a \pi, independentemente do estado inicial.

Passo 5

Conclusão numérica e correspondência com as alternativas:
  • A probabilidade aproximada de que, daqui a 20 anos, o dia seja ensolarado é a componente \pi_S da distribuição estacionária, isto é 0{,}6, ou 60{,}0\%.
  • Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) 60{,}0\%

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