Q10: Considere a sequência formada pela lei de recorrência x_{n+2}=-3 x_{n}+\frac{148}{7} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=35, para que valor de x_{2} temos \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}x_{n} \\\ x_{n+1}\end{array}\right] e note que
A pergunta é: para qual valor de x_{2} (entre as alternativas dadas) temos
\lim_{n\to\infty} x_{n}=0\\ ?]
Passo 2
Explico a ideia que vamos usar (de forma didática): para uma matriz 2\times2 real A, as potências A^{n} podem ser analisadas via valores próprios (autovalores) e autovetores. Se A tem autovalores \lambda_{1} e \lambda_{2} distintos e autovetores v^{(1)},v^{(2)}, então qualquer vetor inicial \vec{v}_{1} se escreve como combinação linear
Assim, para que A^{n}\vec{v}_{1}\to \vec{0} quando n\to\infty é necessário que todos os termos \lambda_{i}^{n} que têm |\lambda_{i}|\ge 1 tenham coeficiente c_{i}=0. Em outras palavras: componentes iniciais na direção de autovalores com módulo maior ou igual a 1 precisam ser nulas; componentes na direção de autovalores com |\lambda|<1 tendem a zero sozinhas.
Passo 3
Vamos calcular os autovalores de A. O polinômio característico de A é
Interpretação: temos um autovalor \lambda_{1}=21 com |\lambda_{1}|>1 e outro \lambda_{2}=1/7 com |\lambda_{2}|<1. Pelo raciocínio do Passo 2, para que A^{n}\vec{v}_{1}\to\vec{0} (e portanto x_{n}\to 0), é necessário e suficiente que a componente inicial na direção do autovetor correspondente a \lambda_{1}=21 seja zero — isto é, \vec{v}_{1} deve estar inteiramente na eigensubespaco de \lambda_{2}=1/7. Em termos práticos, \vec{v}_{1} precisa ser múltiplo de um autovetor associado a \lambda_{2}=1/7.
Passo 6
Encontramos um autovetor para \lambda_{2}=1/7. Resolve-se (A-\tfrac{1}{7}I)v=0. Escrevendo a matriz:
-\tfrac{1}{7}x + y = 0 \quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{1}{7}x.
Logo um autovetor conveniente é
v^{(2)}=\begin{pmatrix}7\\[4pt]1\end{pmatrix},
pois nele vale y=(1/7)x.]
Passo 7
Queremos \vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}35\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} estar na direção de v^{(2)}=\begin{pmatrix}7\\[4pt]1\end{pmatrix}. Portanto deve existir c tal que