Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Q: \mathbb{R}^{31} \rightarrow \mathbb{R}^{31} possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 15 e 13 respectivamente, então Q é diagonalizável.
II - Toda rotação em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo x é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmações sobre operadores/transformações em espaços vetoriais e pede que decidamos quais são verdadeiras ou falsas. Dados relevantes do enunciado:
  • Para a afirmativa I: Q:\mathbb{R}^{31}\to\mathbb{R}^{31} possui dois autovalores reais distintos, com multiplicidade geométrica 15 e 13, respectivamente.
  • Para a afirmativa II: considera-se "toda rotação em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo x".
As perguntas que precisamos responder são: cada uma das afirmativas I e II é verdadeira ou falsa? Qual alternativa (A), (B), (C) ou (D) é a correta?

Passo 2

Vamos lembrar conceitos fundamentais (com calma, passo a passo):
  • Um autovalor (ou valor próprio) \lambda de uma transformação linear T é um número tal que existe vetor não-nulo v com T(v)=\lambda v. Esse v é um autovetor.
  • A multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda é a dimensão do espaço próprio associado, isto é, \dim(\ker(T-\lambda I)). Em palavras: quantos autovetores linearmente independentes correspondem a \lambda.
  • A multiplicidade algébrica de \lambda é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico de T.
  • Critério de diagonalizabilidade sobre um corpo (aqui \mathbb{R}): uma transformação linear em um espaço de dimensão n é diagonalizável sobre \mathbb{R} se, e somente se, existe uma base de n autovetores reais. Equivalentemente, a soma das multiplicidades geométricas (sobre \mathbb{R}) de todos os autovalores reais deve ser n, e para cada autovalor real a multiplicidade geométrica deve atingir sua multiplicidade algébrica. Se existirem autovalores complexos não reais, eles só dão autovetores reais se aparecerem em conjugados e mesmo assim não produzem autovetores reais — nesse caso não contam para diagonalização sobre \mathbb{R}.
Vou sempre explicar o que cada símbolo significa quando aparecer.

Passo 3

Análise da afirmativa I.
Dados: Q:\mathbb{R}^{31}\to\mathbb{R}^{31} tem exatamente dois autovalores reais distintos (o enunciado indica que são esses dois) com multiplicidades geométricas 15 e 13.
  • A soma das multiplicidades geométricas desses dois autovalores é \;15+13=28.
  • O espaço todo tem dimensão \;31. Para que Q seja diagonalizável (sobre \mathbb{R}), precisaríamos de 31 autovetores reais linearmente independentes, ou seja, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores reais teria de ser \;31.
  • Como a soma dada é apenas \;28<31, faltam 3 dimensões de autovetores reais. Isso implica que, mesmo somando as bases dos espaços próprios desses dois autovalores, não conseguimos uma base de \mathbb{R}^{31} formada só por autovetores reais.
  • Outra forma de ver: as multiplicidades algébricas dos dois autovalores somam 31, mas pelo que foi dado suas multiplicidades geométricas somam apenas 28; assim, pelo menos para um dos autovalores a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, o que impede a diagonalização.
Conclusão parcial: a afirmativa I é falsa.

Passo 4

Complemento didático sobre por que a soma das multiplicidades geométricas precisa ser n.
  • Se uma transformação linear é diagonalizável, então existe uma base formada por autovetores. Cada autovalor \lambda contribui com um espaço próprio de dimensão igual à sua multiplicidade geométrica; para formar uma base completa precisamos que a soma dessas dimensões seja n.
  • Se a soma for menor que n, não há autovetores suficientes para formar uma base, logo não é diagonalizável.
  • Exemplo simples (para fixar): uma matriz 2\times2 com um único autovalor \lambda e multiplicidade geométrica 1 (por exemplo uma matriz de Jordan não diagonal) não é diagonalizável porque só tem um autovetor e precisamos de dois.

Passo 5

Análise da afirmativa II.
Queremos saber se “toda rotação em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo x é diagonalizável” (sobre \mathbb{R}, que é o ambiente do enunciado).
  • Qual é a forma matricial, na base canônica, de uma rotação em torno do eixo x por um ângulo \theta? É
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Essa matriz é blocada como \operatorname{diag}(1, R_\theta) onde R_\theta é a rotação 2\times2 no plano yz.
  • Os autovalores dessa matriz são 1 (associado ao eixo x) e os autovalores de R_\theta, que são os complexos e^{\pm i\theta}=\cos\theta\pm i\sin\theta.]

Passo 6

Quando essa rotação é diagonalizável sobre \mathbb{R}?
  • Se \theta=0: a rotação é a identidade, a matriz é I_3, os autovalores são todos 1 e há três autovetores independentes — claramente diagonalizável.
  • Se \theta=\pi (rot. de 180^\circ): então R_\theta=-I_2 e a matriz é \operatorname{diag}(1,-1,-1). Os autovalores reais são 1 (multiplicidade 1) e -1 (multiplicidade algébrica 2), e a multiplicidade geométrica de -1 é 2 também — logo diagonalizável sobre \mathbb{R}.
  • Se \theta é qualquer outro ângulo (por exemplo \theta=\pi/2, rotação de 90^\circ): o bloco R_\theta tem polinômio característico \lambda^2-2\cos\theta\lambda+1 que, para \theta\not\in\{0,\pi\}, tem raízes complexas não reais e^{\pm i\theta}. Então não há autovetores reais vindos desse bloco 2\times2; portanto a matriz tem apenas um autovetor real (o eixo x) e não é possível conseguir três autovetores reais independentes. Assim, para tais \theta a rotação NÃO é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
  • Conclusão: apenas algumas rotações (ângulo 0 e \pi) são diagonalizáveis sobre \mathbb{R}; as demais não o são.

Passo 7

Juntando as conclusões:
  • I é falsa (faltam autovetores: 15+13=28<31).
  • II também é falsa (existem rotações em torno de x com \theta\not\in\{0,\pi\} que não são diagonalizáveis sobre \mathbb{R}).
Portanto ambas as afirmativas são falsas.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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