Verdadeiro ou falso (NÃO PRECISA JUSTIFICAR!!!) (cada item vale 0,5 )
( ) \operatorname{dim}(S)=3, onde S=\operatorname{Ger}\left(1+x+x^{2}, x+x^{2}, 1+x^{2}\right) (S é um subespaço de \mathbb{P}_{2} ).
( ) \operatorname{dim}(S)=6, onde S=\left\{A \in M_{3 \times 3} ; A\right. é triangular superior \}.
( ) Se \alpha=\left\{\binom{1}{0},\binom{0}{1}\right\} e \beta=\left\{\binom{1}{-1},\binom{1}{-2}\right\}, então [I]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & -2\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede que eu diga verdadeiro ou falso para três afirmativas. Vou listar cada afirmativa e as informações que ela dá:
  1. Afirmativa 1: " \operatorname{dim}(S)=3, onde S=\operatorname{Ger}\left(1+x+x^{2},\,x+x^{2},\,1+x^{2}\right)" e S é subespaço de \mathbb{P}_{2}.
  2. Afirmativa 2: “ \operatorname{dim}(S)=6, onde S=\left\{A \in M_{3 \times 3} \mid A\right. é triangular superior \}.”
  3. Afirmativa 3: Se \alpha=\left\{\binom{1}{0},\binom{0}{1}\right\} e \beta=\left\{\binom{1}{-1},\binom{1}{-2}\right\}, então [I]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & -2\end{array}\right).
Nada mais será assumido aqui; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Trabalhando a Afirmativa 1 passo a passo: primeiro vou transformar os polinômios em vetores de coordenadas na base canônica \{1,x,x^{2}\} de \mathbb{P}_{2}.
Os geradores são:
p_{1}=1+x+x^{2},\qquad p_{2}=x+x^{2},\qquad p_{3}=1+x^{2}.
Representando cada polinômio pelas coordenadas (\text{coeficiente de }1,\;\text{coeficiente de }x,\;\text{coeficiente de }x^{2}), tenho:
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\qquad v_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Para decidir a dimensão do subespaço gerado por \{v_{1},v_{2},v_{3}\} preciso verificar se são linearmente independentes ou não. A definição que usamos: vetores são linearmente independentes se a única solução do sistema
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=0
é a=b=c=0. Vamos escrever esse sistema componente a componente.
Das coordenadas obtemos o sistema:
\begin{cases} a + 0\cdot b + c = 0,\\[4pt] a + b + 0\cdot c = 0,\\[4pt] a + b + c = 0. \end{cases}
Ou seja,
\begin{cases} a + c = 0,\\[4pt] a + b = 0,\\[4pt] a + b + c = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo o sistema: da segunda equação b=-a. Da primeira c=-a. Substituindo na terceira:
a + (-a) + (-a) = -a = 0 \implies a=0.
Logo b=0 e c=0. Só há solução trivial, então \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é um conjunto linearmente independente de três vetores em \mathbb{P}_{2} (espaço de dimensão 3). Portanto o espaço gerado tem dimensão 3. Conclusão: a Afirmativa 1 é verdadeira.

Passo 5

Agora a Afirmativa 2: o conjunto S é o espaço das matrizes 3\times 3 triangulares superiores. Vou explicar como contar a dimensão de um espaço de matrizes com essa estrutura.
Uma matriz triangular superior A\in M_{3\times 3} tem forma
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] 0 & a_{22} & a_{23}\\[4pt] 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix},
ou seja, os elementos abaixo da diagonal principal são 0 e os elementos na diagonal e acima dela são livres. Quantos graus de liberdade (entradas independentes) existem? São as entradas a_{11},a_{12},a_{13},a_{22},a_{23},a_{33}: exatamente 6 entradas independentes.]

Passo 6

Uma forma direta de ver dimensão é fornecer uma base explícita com 6 matrizes, por exemplo as matrizes que têm um único 1 em cada posição acima ou na diagonal e zeros nas demais:
E_{11},\;E_{12},\;E_{13},\;E_{22},\;E_{23},\;E_{33}.
Essas seis matrizes são linearmente independentes e geram o espaço das triangulares superiores, então a dimensão é 6. Conclusão: a Afirmativa 2 é verdadeira.

Passo 7

Agora a Afirmativa 3: interpretar [I]_{\beta}^{\alpha}. Por definição, [I]_{\beta}^{\alpha} é a matriz da transformação identidade I vista como aplicação do espaço para si mesma, cujo domínio está equipado com a base \beta e o contradomínio com a base \alpha. As colunas de [I]_{\beta}^{\alpha} são as coordenadas, na base \alpha, dos vetores da base \beta.
Dado
\alpha=\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}\right\} \quad\text{e}\quad \beta=\left\{\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}\right\},
como \alpha é a base canônica, as coordenadas de \binom{1}{-1} em \alpha são simplesmente \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} e as de \binom{1}{-2} são \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 8

Portanto [I]_{\beta}^{\alpha} tem colunas essas coordenadas, isto é,
[I]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] -1 & -2 \end{pmatrix},
que coincide exatamente com a matriz dada na afirmativa. Logo a Afirmativa 3 é verdadeira.]

Resposta

Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro

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