Verdadeiro ou falso (TEM QUE JUSTIFICAR!!!) (cada item vale 1,0 )
( ) Se a \neq 0, então \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\ a\end{array}\right)\right\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
() \left(\begin{array}{c}1 \\\\ 2 \\\\ -2\end{array}\right) pertence ao espaço coluna da matriz \left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 3 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right).

Passo 1

Enunciado e o que se pede (resumo claro):
  • Item (1): Dado o conjunto \left\{\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]3\\[2pt]2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\[2pt]0\\[2pt]a\end{array}\right)\right\}, a afirmação é: "Se a\neq 0, então esse conjunto é uma base de \mathbb{R}^3".
    Informação dada: os três vetores (listados acima) e a condição a\neq 0.
    Pergunta: Verdadeiro ou falso? Justificar.
  • Item (2): Verificar se \left(\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]-2\end{array}\right) pertence ao espaço coluna da matriz \left(\begin{array}{cc}2 & 1\\[2pt]3 & 1\\[2pt]1 & 0\end{array}\right).
    Informação dada: a matriz A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1\\[2pt]3 & 1\\[2pt]1 & 0\end{array}\right) e o vetor b=\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]-2\end{array}\right).
    Pergunta: Verdadeiro ou falso? Justificar.]

Passo 2

Conceitos úteis (curtinho e prático):
  • Um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 é base se e somente se os vetores forem linearmente independentes (equivalente a o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores ser diferente de zero). Vou usar essa condição prática do determinante.
  • O espaço coluna (colunas de uma matriz) contém exatamente os vetores b para os quais existe solução do sistema linear A x = b. Então para verificar pertencimento ao espaço coluna basta checar se o sistema A x = b é compatível.

Passo 3

Resolver o item (1): montar a matriz cujas colunas são os três vetores e calcular o determinante. A matriz (colunas = vetores) é
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 2 & a \end{pmatrix}.
Vou calcular \det(M) expandindo pela primeira linha (regra de Sarrus ou expansão de Laplace pela primeira linha; aqui uso expansão pela primeira linha):
\det(M)=1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[3pt]2 & a\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[3pt]1 & a\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[3pt]1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular cada menor 2×2 (mostrando passo a passo):
  • \det\begin{pmatrix}3 & 0\\[3pt]2 & a\end{pmatrix}=3a-0\cdot2=3a.
  • \det\begin{pmatrix}2 & 0\\[3pt]1 & a\end{pmatrix}=2a-0\cdot1=2a.
  • \det\begin{pmatrix}2 & 3\\[3pt]1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-3\cdot1=4-3=1.
Agora substituir na expressão da determinante:
\det(M)=1\cdot(3a)-1\cdot(2a)+2\cdot(1)=3a-2a+2=a+2.]

Passo 5

Interpretação do resultado para o item (1):
Os vetores formam uma base de \mathbb{R}^3 se, e só se, \det(M)\neq 0. Como \det(M)=a+2, a condição é a+2\neq 0, ou seja a\neq -2. Portanto a afirmação “Se a\neq 0 então é base” é falsa: a condição correta deveria ser a\neq -2. Um contraexemplo simples: escolha a=-2. Note que a=-2 satisfaz a\neq 0, mas para a=-2 temos \det(M)=0, logo os vetores são linearmente dependentes e não formam base. Conclusão do item (1): Falso.

Passo 6

Agora resolver o item (2): verificar se existe x=\left(\begin{smallmatrix}x_1\\[2pt]x_2\end{smallmatrix}\right) tal que A x = b, onde
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[3pt]3 & 1\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[3pt]2\\[3pt]-2\end{pmatrix}.
Escrevo o sistema de equações correspondente (cada linha dá uma equação):
\begin{cases} 2x_1 + x_2 = 1,\\[4pt] 3x_1 + x_2 = 2,\\[4pt] x_1 = -2. \end{cases}]

Passo 7

Resolver pelo terceiro equação primeiro (é direto): da terceira equação obtemos x_1=-2. Substituo esse valor nas duas primeiras equações para ver se existe x_2 que satisfaça ambas.
  • Na primeira equação: 2(-2)+x_2=1 \Rightarrow -4 + x_2 = 1 \Rightarrow x_2 = 5.
  • Na segunda equação: 3(-2)+x_2=2 \Rightarrow -6 + x_2 = 2 \Rightarrow x_2 = 8.
Obtemos duas exigências para x_2: x_2=5 e x_2=8. Isso é impossível (contradição), logo não existe vetor x que resolva o sistema. Portanto b não está no espaço coluna de A.

Passo 8

Interpretação curta e didática do resultado do item (2): o espaço coluna de A é o conjunto de combinações lineares das colunas de A. Se houvesse x tal que Ax=b, b seria combinação linear dessas colunas. Como o sistema é incompatível (contradição nas equações), não há tal combinação linear. Logo a afirmação do item (2) é falsa.

Resposta

Falso
Falso

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