Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também quese faz sol em um dia, há 85 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 10 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 85.7 \%
(B) 86.7 \%
(C) 87.7 \%
(D) 88.7 \%

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pergunta: Qual é a probabilidade aproximada de que, no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos, o dia seja ensolarado?
  • Informações dadas (peguei esses valores do enunciado):
    • Se num dia faz sol, então no dia seguinte há 85\% de chance de fazer sol.
    • Se num dia chove, então no dia seguinte há 10\% de chance de chover.
  • Observação prática: vamos modelar dias sucessivos como um processo com transições diárias; daqui a 20 anos corresponde a 20\cdot 365 = 7300 dias (estou ignorando anos bissextos, o efeito é negligenciável para esta questão).

Passo 2

Modelagem do problema como uma cadeia de Markov (explicação didática).
  • Uma cadeia de Markov para dias tem dois estados: “ensolarado” (vou escrever S) e “chuvoso” (vou escrever R).
  • A ideia: a probabilidade do tempo amanhã depende só do tempo hoje (isso é a hipótese do enunciado). Essa dependência é descrita por uma matriz de transição.
  • Definimos as probabilidades de transição a partir dos dados:
    • \Pr(S\to S)=0,85 e \Pr(S\to R)=0,15.
    • \Pr(R\to R)=0,10 e \Pr(R\to S)=0,90.
  • A matriz de transição P (com ordem de estados (S,R)) é então:
P=\begin{pmatrix} 0,85 & 0,15\\[4pt] 0,90 & 0,10 \end{pmatrix}
  • O que queremos é a probabilidade de estar em S após 7300 passos. Para grandes n cadeias de Markov ergódicas convergem para uma distribuição estacionária independente do estado inicial — vou explicar e usar isso porque 7300 é enorme.]

Passo 3

Conceito de distribuição estacionária (aula rápida e intuitiva).
  • A distribuição estacionária \pi=(\pi_S,\pi_R) é um vetor de probabilidades tal que, se hoje tiver distribuição \pi, amanhã também terá \pi. Formalmente:
\pi = \pi P.
  • Intuição: \pi_S é a fração de dias, no longo prazo, que são ensolarados; ela permanece a mesma depois de aplicar as transições. Para uma cadeia irreducível e aperiódica (este caso, com probabilidades positivas de ir de um estado a outro), a cadeia converge para essa \pi independentemente do estado inicial quando n é grande.

Passo 4

Montando as equações para a distribuição estacionária (passo a passo).
  • A equação vetorial \pi=\pi P dá duas equações escalares. Escrevendo-as para \pi_S e \pi_R:
    • \pi_S = \pi_S\cdot 0,85 + \pi_R\cdot 0,90.
    • \pi_R = \pi_S\cdot 0,15 + \pi_R\cdot 0,10.
  • Também temos a condição de normalização (soma das probabilidades é 1):
\pi_S+\pi_R=1.
  • Basta resolver esse sistema; em prática uma das equações é redundante, usamos a primeira e a normalização.

Passo 5

Resolvendo as equações explicitamente (conta detalhada).
  • Da equação
\pi_S = 0,85\,\pi_S + 0,90\,\pi_R
subtraímos 0,85\,\pi_S dos dois lados:
\pi_S - 0,85\,\pi_S = 0,90\,\pi_R.
  • Isso simplifica para
0,15\,\pi_S = 0,90\,\pi_R.
  • Isolando \pi_R em função de \pi_S:
\pi_R = \frac{0,15}{0,90}\,\pi_S = \frac{1}{6}\,\pi_S.
  • Usando \pi_S+\pi_R=1:
\pi_S + \frac{1}{6}\pi_S = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{7}{6}\pi_S = 1.
  • Logo
\pi_S = \frac{6}{7}.

Passo 6

Valor numérico e interpretação em porcentagem.
  • Calculando \frac{6}{7} como porcentagem:
\frac{6}{7}\approx 0,857142857\ldots
o que corresponde a 85,7142857\%. Arredondando à casa decimal fornecida nas alternativas dá 85,7\%.

Passo 7

Por que podemos usar a distribuição estacionária para 7300 dias (justificativa técnica curta).
  • Para matrizes de transição estocásticas, sempre existe o autovalor \lambda_1=1. A velocidade de convergência depende dos outros autovalores. Para a nossa matriz P os autovalores são 1 e -0,05 (pode-se verificar através do traço e determinante: traço =0,95, determinante =-0,05, portanto soma dos autovalores 0,95 e produto -0,05, o que dá os valores indicados).
  • O autovalor secundário tem módulo 0,05, muito pequeno, então termos do tipo ({-}0,05)^n vão a zero extremamente rápido. Para n=7300 isso é efetivamente zero.
  • Conclusão: após alguns poucos passos a cadeia já está praticamente na distribuição estacionária; portanto a probabilidade de ensolarado ao fim de 7300 dias é muito bem aproximada por \pi_S=\tfrac{6}{7}.

Passo 8

Resposta final em termos da alternativa dada.
  • A alternativa que corresponde a 85,7\% é a alternativa (A).

Resposta

(A) 85,7\%

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