Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também quese faz sol em um dia, há
de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de
. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pergunta: Qual é a probabilidade aproximada de que, no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos, o dia seja ensolarado?
- Informações dadas (peguei esses valores do enunciado):
- Se num dia faz sol, então no dia seguinte há
de chance de fazer sol. - Se num dia chove, então no dia seguinte há
de chance de chover.
- Se num dia faz sol, então no dia seguinte há
- Observação prática: vamos modelar dias sucessivos como um processo com transições diárias; daqui a 20 anos corresponde a
dias (estou ignorando anos bissextos, o efeito é negligenciável para esta questão).
Passo 2
Modelagem do problema como uma cadeia de Markov (explicação didática).
- Uma cadeia de Markov para dias tem dois estados: “ensolarado” (vou escrever
) e “chuvoso” (vou escrever ). - A ideia: a probabilidade do tempo amanhã depende só do tempo hoje (isso é a hipótese do enunciado). Essa dependência é descrita por uma matriz de transição.
- Definimos as probabilidades de transição a partir dos dados:
-
e . -
e .
-
- A matriz de transição
(com ordem de estados ) é então:
- O que queremos é a probabilidade de estar em
após passos. Para grandes cadeias de Markov ergódicas convergem para uma distribuição estacionária independente do estado inicial — vou explicar e usar isso porque é enorme.]
Passo 3
Conceito de distribuição estacionária (aula rápida e intuitiva).
- A distribuição estacionária
é um vetor de probabilidades tal que, se hoje tiver distribuição , amanhã também terá . Formalmente:
- Intuição:
é a fração de dias, no longo prazo, que são ensolarados; ela permanece a mesma depois de aplicar as transições. Para uma cadeia irreducível e aperiódica (este caso, com probabilidades positivas de ir de um estado a outro), a cadeia converge para essa independentemente do estado inicial quando é grande.
Passo 4
Montando as equações para a distribuição estacionária (passo a passo).
- A equação vetorial
dá duas equações escalares. Escrevendo-as para e : -
. -
.
-
- Também temos a condição de normalização (soma das probabilidades é
):
- Basta resolver esse sistema; em prática uma das equações é redundante, usamos a primeira e a normalização.
Passo 5
Resolvendo as equações explicitamente (conta detalhada).
- Da equação
subtraímos
dos dois lados:
- Isso simplifica para
- Isolando
em função de :
- Usando
:
- Logo
Passo 6
Valor numérico e interpretação em porcentagem.
- Calculando
como porcentagem:
o que corresponde a
. Arredondando à casa decimal fornecida nas alternativas dá
.
Passo 7
Por que podemos usar a distribuição estacionária para
dias (justificativa técnica curta).
- Para matrizes de transição estocásticas, sempre existe o autovalor
. A velocidade de convergência depende dos outros autovalores. Para a nossa matriz os autovalores são e (pode-se verificar através do traço e determinante: traço , determinante , portanto soma dos autovalores e produto , o que dá os valores indicados). - O autovalor secundário tem módulo
, muito pequeno, então termos do tipo vão a zero extremamente rápido. Para isso é efetivamente zero. - Conclusão: após alguns poucos passos a cadeia já está praticamente na distribuição estacionária; portanto a probabilidade de ensolarado ao fim de
dias é muito bem aproximada por .
Passo 8
Resposta final em termos da alternativa dada.
- A alternativa que corresponde a
é a alternativa (A).
Resposta
(A)