(a) Suponha que se conheça o valor de uma função
em apenas 2 pontos: para
e para
. Obtenha o polinômio interpolador de
, de grau 1 , em
, via forma de Newton.
(b) Suponha, agora, que se saiba o valor da função
em mais 1 ponto, a saber
. Obtenha o polinômio interpolador de
, em
[-1.0; 2.0], via forma de Newton, usando estes 3 pontos.
(c) Seria possível obter um polinômio interpolador de grau 2 montando um sistema linear, ou seja, naquela forma onde se escreve o polinômio na forma
e se impõe diretamente as restrições de interpolação? Justifique a sua resposta sem fazer contas.
(b) Suponha, agora, que se saiba o valor da função
(c) Seria possível obter um polinômio interpolador de grau 2 montando um sistema linear, ou seja, naquela forma onde se escreve o polinômio na forma
Passo 1
O enunciado quer construir polinômios que interpolam
em pontos dados usando a forma de Newton com diferenças divididas. Em (a) temos 2 pontos e buscamos um polinômio de grau 1; em (b) acrescentamos um ponto e buscamos grau 2; em (c) perguntam se poderíamos ter obtido o grau 2 montando o sistema linear usual.
Passo 2
Para (a) tomamos os nós
A diferença dividida de ordem 1 é
Logo o polinômio de Newton de grau 1 é
Em forma simplificada:
Passo 3
Para (b) reorganizamos os três nós em ordem crescente:
Calculamos as diferenças divididas:
Então o polinômio de Newton de grau 2 é
Passo 4
Para (c), sim, poderíamos montar o sistema
cuja matriz é o sistema de Vandermonde em
. Como os três nós são distintos, o determinante de Vandermonde
é não nulo, garantindo solução única sem precisar fazer contas explícitas.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Sim. Como os três nós são distintos, o sistema linear com matriz de Vandermonde é invertível, garantindo um único polinômio de grau 2.
(b)
(c) Sim. Como os três nós são distintos, o sistema linear com matriz de Vandermonde é invertível, garantindo um único polinômio de grau 2.