(a) Suponha que se conheça o valor de uma função f(x) em apenas 2 pontos: para x=-1.0, f(-1.0)=5.0 e para x=2.0, f(2.0)=3.0. Obtenha o polinômio interpolador de f(x), de grau 1 , em D=[-1.0 ; 2.0], via forma de Newton.
(b) Suponha, agora, que se saiba o valor da função f(x) em mais 1 ponto, a saber f(1.0)=4.0. Obtenha o polinômio interpolador de f(x), em D= [-1.0; 2.0], via forma de Newton, usando estes 3 pontos.
(c) Seria possível obter um polinômio interpolador de grau 2 montando um sistema linear, ou seja, naquela forma onde se escreve o polinômio na forma p_{2}(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} e se impõe diretamente as restrições de interpolação? Justifique a sua resposta sem fazer contas.

Passo 1

O enunciado quer construir polinômios que interpolam f em pontos dados usando a forma de Newton com diferenças divididas. Em (a) temos 2 pontos e buscamos um polinômio de grau 1; em (b) acrescentamos um ponto e buscamos grau 2; em (c) perguntam se poderíamos ter obtido o grau 2 montando o sistema linear usual.

Passo 2

Para (a) tomamos os nós
x_0=-1,\;f(x_0)=5,
x_1=2,\;f(x_1)=3.
A diferença dividida de ordem 1 é
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} =\frac{3-5}{2-(-1)}=-\frac{2}{3}.
Logo o polinômio de Newton de grau 1 é
p_1(x) =f[x_0]+f[x_0,x_1]\,(x-x_0) =5-\tfrac{2}{3}(x+1).
Em forma simplificada:
p_1(x)=\frac{13}{3}-\frac{2}{3}\,x.

Passo 3

Para (b) reorganizamos os três nós em ordem crescente:
x_0=-1,\;f(x_0)=5;\quad x_1=1,\;f(x_1)=4;\quad x_2=2,\;f(x_2)=3.
Calculamos as diferenças divididas:
f[x_0,x_1]=\frac{4-5}{1-(-1)}=-\tfrac12, \quad f[x_1,x_2]=\frac{3-4}{2-1}=-1,
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\frac{-1-(-\tfrac12)}{2-(-1)} =-\tfrac16.
Então o polinômio de Newton de grau 2 é
p_2(x) =5-\tfrac12\,(x+1) -\tfrac16\,(x+1)(x-1).

Passo 4

Para (c), sim, poderíamos montar o sistema
a_0+a_1x_i+a_2x_i^2=f(x_i), \quad i=0,1,2,
cuja matriz é o sistema de Vandermonde em x_0,x_1,x_2. Como os três nós são distintos, o determinante de Vandermonde
\prod_{0\le i<j\le2}(x_j-x_i)
é não nulo, garantindo solução única sem precisar fazer contas explícitas.

Resposta

(a) \displaystyle p_1(x)=5-\tfrac{2}{3}(x+1)=\tfrac{13}{3}-\tfrac{2}{3}x.
(b) \displaystyle p_2(x)=5-\tfrac12(x+1)-\tfrac16(x+1)(x-1).
(c) Sim. Como os três nós são distintos, o sistema linear com matriz de Vandermonde é invertível, garantindo um único polinômio de grau 2.

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