A variância \left(S^{2}\right) de uma amostra com n observações de uma variável aleatória X pode ser calculada por meio de:
sendo \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}. Pede-se:
S_{X}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}
a. Utilize propriedades de somatório na equação 1.1 para mostrar que:
S_{X}^{2}=\frac{1}{n-1}\left[\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-\frac{\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)^{2}}{n}\right]

Passo 1

O enunciado dá a variância amostral
S_{X}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}
com \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}, e pede uma forma alternativa
S_{X}^{2}=\frac{1}{n-1}\Bigl[\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\frac{\bigl(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\bigr)^{2}}{n}\Bigr].
Para isso, vamos usar propriedades de somatório e álgebra elementar.

Passo 2

Expandimos o quadrado dentro do somatório:
\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2} = \sum_{i=1}^{n}\bigl(X_{i}^{2}-2X_{i}\bar{X}+\bar{X}^{2}\bigr).

Passo 3

Pela linearidade do somatório, separamos os termos e usamos \sum_{i=1}^{n}X_{i}=n\bar{X} e \sum_{i=1}^{n}\bar{X}^{2}=n\bar{X}^{2}:
\sum_{i=1}^{n}\bigl(X_{i}^{2}-2X_{i}\bar{X}+\bar{X}^{2}\bigr) = \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - 2\bar{X}\sum_{i=1}^{n}X_{i} + \sum_{i=1}^{n}\bar{X}^{2} = \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - 2n\bar{X}^{2} + n\bar{X}^{2} = \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - n\bar{X}^{2}.

Passo 4

Reescrevemos n\bar{X}^{2} em termos de \sum X_{i}:
n\bar{X}^{2} = n\Bigl(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\Bigr)^{2} = \frac{\bigl(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\bigr)^{2}}{n}.

Passo 5

Substituindo em S_{X}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}, obtemos
S_{X}^{2} = \frac{1}{n-1}\Bigl[\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - n\bar{X}^{2}\Bigr] = \frac{1}{n-1}\Bigl[\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - \frac{\bigl(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\bigr)^{2}}{n}\Bigr].

Resposta

S_{X}^{2}=\frac{1}{n-1}\Bigl[\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\frac{\bigl(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\bigr)^{2}}{n}\Bigr].

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