Dados os pontos da tabela abaixo:
x_{k} 40 42 43 45 46 49
f\left(x_{k}\right) 177 195 204 224 233 250
Obtenha uma aproximação para f(47) através do polinômio interpolador de grau 4, via forma de Newton, escolhendo os pontos de forma a obter a melhor
solução possível (ou seja, a mais confiável, em termos de precisão e também que leve em consideração as informações sobre f(x), da melhor forma possível) com os valores fornecidos.

Passo 1

Resumo do enunciado e escolha dos pontos
O problema dá seis pontos
(x_k,f(x_k)) = (40,177),\,(42,195),\,(43,204),\,(45,224),\,(46,233),\,(49,250)
e pede uma aproximação de f(47) por um polinômio interpolador de grau 4 na forma de Newton. Para maximizar a precisão é recomendável usar os cinco pontos mais próximos de x=47, ou seja
x_0=42,\;x_1=43,\;x_2=45,\;x_3=46,\;x_4=49
com
f(x_0)=195,\;f(x_1)=204,\;f(x_2)=224,\;f(x_3)=233,\;f(x_4)=250.

Passo 2

Cálculo das diferenças divididas de primeira ordem
Definimos
f[x_i]=f(x_i), \qquad f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i}.
Logo:
f[x_0,x_1]=\frac{204-195}{43-42}=9, \quad f[x_1,x_2]=\frac{224-204}{45-43}=10,
f[x_2,x_3]=\frac{233-224}{46-45}=9, \quad f[x_3,x_4]=\frac{250-233}{49-46}=\frac{17}{3}\approx5{,}6667.

Passo 3

Cálculo das diferenças divididas de ordem superior
Seguindo
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] =\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i},
temos
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{10-9}{45-42}=\tfrac{1}{3}\approx0{,}3333,
f[x_1,x_2,x_3] =\frac{9-10}{46-43}=-\tfrac{1}{3}\approx-0{,}3333,
f[x_2,x_3,x_4] =\frac{\tfrac{17}{3}-9}{49-45} =\frac{-\tfrac{10}{3}}{4}=-\tfrac{10}{12}\approx-0{,}8333.
Para a terceira ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3] =\frac{-0{,}3333-0{,}3333}{46-42} =-\tfrac{2}{12}=-\tfrac{1}{6}\approx-0{,}1667,
f[x_1,x_2,x_3,x_4] =\frac{-0{,}8333-(-0{,}3333)}{49-43} =-\tfrac{0{,}5}{6}\approx-0{,}08333.
E finalmente a quarta ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4] =\frac{-0{,}08333-(-0{,}1667)}{49-42} \approx\frac{0{,}08337}{7}\approx0{,}0119048.

Passo 4

Montagem do polinômio de Newton e avaliação em x=47
O polinômio interpolador de grau 4 é
P_4(x) =f[x_0] +f[x_0,x_1](x-x_0) +f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)
\quad +f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) +f[x_0,\dots,x_4](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).
Substituindo os valores e x=47:
P_4(47) =195 +9\cdot(47-42) +\tfrac{1}{3}\cdot(47-42)(47-43)
\quad -\tfrac{1}{6}\cdot(47-42)(47-43)(47-45) +0{,}0119048\cdot(47-42)(47-43)(47-45)(47-46).
Calculando termo a termo:
195+9\cdot5=240, \quad +\tfrac{1}{3}\cdot5\cdot4\approx+6{,}6667,
-\,\tfrac{1}{6}\cdot5\cdot4\cdot2=-6{,}6667, \quad +0{,}0119048\cdot5\cdot4\cdot2\cdot1\approx+0{,}4762.
Somando tudo:
P_4(47)\approx240+6{,}6667-6{,}6667+0{,}4762 \approx240{,}48.

Resposta

Aproximação de f(47) pelo polinômio interpolador de grau 4:
f(47)\approx240{,}48.

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