Suponha que, pelo contrário, a densidade de corrente tenha um máximo
na superfície do cilindro e decresça linearmente até zero no eixo, de modo que
Calcular a corrente.
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de densidade de corrente em um cilindro de raio
, com densidade máxima na superfície igual a
e que decresce linearmente até zero no eixo. A expressão dada é
onde
é a distância do eixo. A pergunta é: calcular a corrente total
que atravessa a seção transversal circular do cilindro.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
O que é densidade de corrente e como se obtém a corrente total: a densidade de corrente
tem unidade de corrente por área (por exemplo, A/m
) e, quando o vetor densidade de corrente é paralelo à área (no nosso caso a corrente atravessa a seção transversal axialmente), a corrente total é a integral da densidade sobre a área da seção:
Aqui
é a corrente total (A),
é a área da seção transversal, e
é um elemento de área. Como
depende só de
(simetria circular), podemos usar coordenadas polares para simplificar a integral.
Passo 3
Escolhendo coordenadas polares na seção circular: um elemento útil para integrar quando há simetria radial é tomar um anel de raio
e espessura
. A área desse anel é igual à circunferência vezes a espessura:
Explicação intuitiva: um anel com raio
tem comprimento
; multiplicando pela pequena espessura
obtemos a área do anel.
Passo 4
Agora montamos a integral da corrente, somando a contribuição de cada anel do centro (
) até a borda (
):
Substituímos
:
Passo 5
Simplificamos o integrando: multiplicando os fatores em
,
Logo a integral fica
Passo 6
Calculamos a integral de
: a primitiva de
é
. Avaliando de
a
obtemos
. Portanto
Passo 7
Fazendo a simplificação algébrica final (reduzindo
para
) obtemos a expressão final da corrente. Um cheque rápido: a densidade média
na seção vale
. Se a expressão final estiver coerente,
deve ficar entre
e
. (Esse é um bom jeito de conferir se o resultado faz sentido.)