Suponha que, pelo contrário, a densidade de corrente tenha um máximo \mathrm{J}_{0} na superfície do cilindro e decresça linearmente até zero no eixo, de modo que
J=J_{0} \frac{r}{R}
Calcular a corrente.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de densidade de corrente em um cilindro de raio R, com densidade máxima na superfície igual a J_{0} e que decresce linearmente até zero no eixo. A expressão dada é
J = J_{0}\,\frac{r}{R},
onde r é a distância do eixo. A pergunta é: calcular a corrente total I que atravessa a seção transversal circular do cilindro.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Raio do cilindro: }R,\\\ &\text{Densidade de corrente (função do raio): }J(r)=J_{0}\,\frac{r}{R},\\\ &\text{Queremos a corrente total }I\text{ através da seção transversal (plano perpendicular ao eixo).} \end{aligned}çãéçã

Passo 2

O que é densidade de corrente e como se obtém a corrente total: a densidade de corrente J tem unidade de corrente por área (por exemplo, A/m ^2) e, quando o vetor densidade de corrente é paralelo à área (no nosso caso a corrente atravessa a seção transversal axialmente), a corrente total é a integral da densidade sobre a área da seção:
I=\int_{A} J\,\mathrm{d}A.
Aqui I é a corrente total (A), A é a área da seção transversal, e \mathrm{d}A é um elemento de área. Como J depende só de r (simetria circular), podemos usar coordenadas polares para simplificar a integral.

Passo 3

Escolhendo coordenadas polares na seção circular: um elemento útil para integrar quando há simetria radial é tomar um anel de raio r e espessura \mathrm{d}r. A área desse anel é igual à circunferência vezes a espessura:
\mathrm{d}A = (\text{circunferência})\times(\text{espessura}) = 2\pi r\,\mathrm{d}r.ê
Explicação intuitiva: um anel com raio r tem comprimento 2\pi r; multiplicando pela pequena espessura \mathrm{d}r obtemos a área do anel.

Passo 4

Agora montamos a integral da corrente, somando a contribuição de cada anel do centro ( r=0) até a borda ( r=R):
I=\int_{A} J\,\mathrm{d}A = \int_{0}^{R} J(r)\,2\pi r\,\mathrm{d}r.
Substituímos J(r)=J_{0}\,\dfrac{r}{R}:
I=\int_{0}^{R} \left(J_{0}\,\frac{r}{R}\right) 2\pi r\,\mathrm{d}r.

Passo 5

Simplificamos o integrando: multiplicando os fatores em r,
\left(J_{0}\,\frac{r}{R}\right) 2\pi r = \frac{2\pi J_{0}}{R}\, r^{2}.
Logo a integral fica
I=\frac{2\pi J_{0}}{R}\int_{0}^{R} r^{2}\,\mathrm{d}r.

Passo 6

Calculamos a integral de r^{2}: a primitiva de r^{2} é \dfrac{r^{3}}{3}. Avaliando de 0 a R obtemos \dfrac{R^{3}}{3}. Portanto
I=\frac{2\pi J_{0}}{R}\cdot\frac{R^{3}}{3}.

Passo 7

Fazendo a simplificação algébrica final (reduzindo R^{3}/R para R^{2}) obtemos a expressão final da corrente. Um cheque rápido: a densidade média \langle J\rangle na seção vale \langle J\rangle=I/(\pi R^{2}). Se a expressão final estiver coerente, \langle J\rangle deve ficar entre 0 e J_{0}. (Esse é um bom jeito de conferir se o resultado faz sentido.)

Resposta

I=\frac{2}{3}\pi J_{0} R^{2}

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