Suponha que
, para
. Determine a função acumulada de probabilidade e Calcule
(a)
(b)
tal que
.
R.
(a)
(b) tal que
R.
Passo 1
Dados e pedidos (vou listar exatamente o que o enunciado fornece e o que pede, para a gente não se perder):
- Foi dada a densidade de probabilidade
- Perguntas:
- Determinar a função acumulada de probabilidade
. - Calcular (a)
. - Calcular (b)
. - Calcular (c)
. - Calcular (d)
. - (e) Determinar
tal que .
- Determinar a função acumulada de probabilidade
Passo 2
Verificação rápida (não obrigatória, mas importante para entender a função): a densidade deve integrar 1 na sua suporte. Vou mostrar isso porque isso justifica usar essa
como densidade.
Logo
é uma densidade válida.
Passo 3
Definição e estratégia para achar
:
- A função acumulada
é definida por
- Para uma densidade contínua com suporte
temos, para dentro do suporte,
Vou calcular essa integral e depois completar
para
fora do suporte (valores extremos).
Passo 4
Cálculo da integral para
dentro do suporte:
- Integro
:
- Avaliando de
até :
- Como
, isto dá
para
.
Passo 5
Completando a forma por partes (mania de estatístico: deixar a peça completa):
- Para
não há massa à esquerda, logo . - Para
já achamos . - Para
toda a massa já foi acumulada, então .
Assim a função acumulada é (forma final)
Passo 6
Cálculo (a)
:
- A distribuição é contínua, portanto
. - Use a fórmula dentro do suporte:
Logo
.
Passo 7
Cálculo (b)
:
- Para intervalos fechados usamos a diferença de
:
- Calcule
nos pontos (sabendo e ):
- Subtraindo:
- Em valor decimal (aprox. 4 casas decimais):
Passo 8
Cálculo (c)
:
- Novamente, por continuidade,
. - Já calculamos
. - Valor numérico:
Passo 9
Cálculo (d)
:
- Usa complemento:
- Como
,
Passo 10
Cálculo (e) determinar
tal que
:
- Para
dentro do suporte resolvemos . Usamos a expressão interna:
- Isolando
:
- Como o suporte é
e está nesse intervalo, a solução é
- Em valor numérico (radianos), usando aproximação:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) radianos]
(b)
(c)
(d)
(e)