Suponha que uma curva C seja o gráfico de uma equação polar r=f(\theta). Se r^{\prime}=\frac{d r}{d \theta} e r^{\prime \prime}=\frac{d^{2} r}{d \theta^{2}}, utilize a fórmula obtida para as variáveis x, x(\operatorname{com} x=r \cos (\theta) e y=r \operatorname{sen}(\theta)) e mostre que a curvatura em P=(r, \theta) é
K=\frac{\left|2\left(r^{\prime}\right)^{2}-r \cdot r^{\prime \prime}+r^{2}\right|}{\left(\left(r^{\prime}\right)^{2}+r^{2}\right)^{3 / 2}}
A seguir, encontre a curvatura da curva polar r=a(1-\cos (\theta)), \operatorname{com} \theta \in(0,2 \pi).

Passo 1

O enunciado quer usar a fórmula de curvatura para uma curva dada em coordenadas cartesianas
K=\frac{\bigl|x'\,y''-y'\,x''\bigr|}{\bigl(x'^2+y'^2\bigr)^{3/2}}
com x=r(\theta)\cos\theta e y=r(\theta)\sin\theta, para chegar à expressão
K=\frac{\bigl|2(r')^2 - r\,r'' + r^2\bigr|}{\bigl((r')^2+r^2\bigr)^{3/2}}.
Depois, aplicar esse resultado à curva r=a(1-\cos\theta).

Passo 2

Calculemos as derivadas primeiras de x e y em função de \theta. Como
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
temos
x'=\frac{d}{d\theta}(r\cos\theta)=r'\cos\theta - r\sin\theta,
y'=\frac{d}{d\theta}(r\sin\theta)=r'\sin\theta + r\cos\theta.

Passo 3

Agora as derivadas segundas:
x''=\frac{d}{d\theta}(r'\cos\theta - r\sin\theta) =r''\cos\theta - r'\sin\theta - r'\sin\theta - r\cos\theta =r''\cos\theta -2r'\sin\theta - r\cos\theta,
y''=\frac{d}{d\theta}(r'\sin\theta + r\cos\theta) =r''\sin\theta + r'\cos\theta + r'\cos\theta - r\sin\theta =r''\sin\theta +2r'\cos\theta - r\sin\theta.

Passo 4

O numerador da curvatura é
N=x'y''-y'x''.
Substituindo as expressões de x',y',x'',y'' e usando \sin^2\theta+\cos^2\theta=1, chega-se a
N=2(r')^2 - r\,r'' + r^2.

Passo 5

O denominador é
D=\bigl(x'^2+y'^2\bigr)^{3/2} =\bigl((r')^2 + r^2\bigr)^{3/2}.
Logo obtemos a fórmula geral em coordenada polar:
K=\frac{\bigl|2(r')^2 - r\,r'' + r^2\bigr|}{\bigl((r')^2+r^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 6

Para r=a(1-\cos\theta) temos
r'=a\sin\theta, \quad r''=a\cos\theta.
Substituindo no numerador:
2(r')^2 - r\,r'' + r^2 =2a^2\sin^2\theta - a^2(1-\cos\theta)\cos\theta + a^2(1-\cos\theta)^2 =3a^2(1-\cos\theta).
No denominador:
(r')^2+r^2 =a^2\sin^2\theta + a^2(1-\cos\theta)^2 =2a^2(1-\cos\theta),
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D=\bigl(2a^2(1-\cos\theta)\bigr)^{3/2} =2\sqrt{2}\,a^3(1-\cos\theta)^{3/2}.

Passo 7

Finalmente
K(\theta) =\frac{3a^2(1-\cos\theta)}{2\sqrt{2}\,a^3(1-\cos\theta)^{3/2}} =\frac{3}{2\sqrt{2}\,a\sqrt{1-\cos\theta}} =\frac{3}{4a\bigl|\sin(\tfrac\theta2)\bigr|}.

Resposta

K(\theta) =\frac{3}{2\sqrt{2}\,a\sqrt{1-\cos\theta}} \;=\;\frac{3}{4a\,\bigl|\sin(\tfrac\theta2)\bigr|}.

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