(a) Suponha que um dado elemento radioativo
se decomponha em um segundo elemento radioativo
, e que
por sua vez se decomponha em um terceiro elemento
. Se a quantidade inicial de A presente é
, se as quantidades de
e
presentes em um tempo posterior t são
e
, respectivamente, e se
e
são as constantes de taxa dessas duas reações, encontre y como função do tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma cadeia de decaimento radioativo onde o elemento A se transforma no elemento B, e o B se transforma no elemento C. A gente sabe que no começo temos uma quantidade inicial de A, que é
, e queremos descobrir quanto de B, que chamaremos de
, teremos após um tempo
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais que descrevem o decaimento radioativo.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas taxas de decaimento. O elemento A se decompõe em B com uma constante de taxa
, e o B se decompõe em C com uma constante de taxa
. Essas constantes nos dizem quão rápido cada processo acontece.
Passo 3
Agora, vamos modelar matematicamente esses processos. A taxa de decaimento de A é proporcional à quantidade de A presente, então temos:
Da mesma forma, a taxa de formação de B depende do decaimento de A e da sua própria taxa de decaimento:
Passo 4
Primeiro, resolvemos a equação para
. A equação diferencial é:
Isso é uma equação diferencial linear que tem a solução:
Passo 5
Agora que temos
, vamos substituir na equação para
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Como inicialmente não temos B, ou seja,
, substituímos
:
Daí,
.
Passo 9
Substituindo
de volta na expressão de
:
Resposta
A quantidade de B em função do tempo
é: