Esboce o gráfico da função dada abaixo.
f: R R, dada por
f(x)=rllx-1, & se & x in(-infty,-2) -1, & se & x=-2 x^2+1, & se & x in(-2,1) 1, & se & x=1 2 x+1, & se & x in(1,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. O exercício pede para esboçar o gráfico de uma função que é definida por partes. Isso significa que a função tem comportamentos diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como desenhar gráficos de funções lineares ( e ) e quadráticas ( ), além de entender como representar pontos específicos onde a função muda de comportamento.

Passo 2

Vamos começar analisando cada pedaço da função separadamente:
  1. Para : A função é . Essa é uma função linear com inclinação 1 e intercepto em -1.
  2. Para : A função vale . Esse é um ponto específico que vamos marcar no gráfico.
  3. Para : A função é . Essa é uma parábola aberta para cima, deslocada 1 unidade para cima.
  4. Para : A função vale . Outro ponto específico a ser marcado.
  5. Para : A função é . Outra função linear, agora com inclinação 2 e intercepto em 1.

Passo 3

Vamos desenhar cada parte no gráfico:
  • Para : Desenhe a reta . Ela passa pelos pontos como (-3, -4), (-4, -5), etc.
  • Ponto em : Marque o ponto (-2, -1) com um ponto sólido, indicando que a função realmente vale -1 nesse ponto.
  • Para : Desenhe a parábola . Por exemplo, em , ; em , , etc.
  • Ponto em : Marque o ponto (1, 1) com um ponto sólido.
  • Para : Desenhe a reta . Ela passa por pontos como (2, 5), (3, 7), etc.

Passo 4

Agora, é importante verificar como essas partes se conectam:
  • Entre e : A reta em , mas a função define . Então, há um ponto aberto na reta e um ponto fechado em (-2, -1).
  • Entre e : A parábola em , mas a função define . Então, novamente, há um ponto aberto na parábola e um ponto fechado em (1, 1).

Passo 5

Juntando tudo, o gráfico terá:
  • Uma reta decrescente para , terminando com um ponto aberto em (-2, -3).
  • Um ponto fechado em (-2, -1).
  • Uma parábola entre .
  • Um ponto fechado em (1, 1).
  • Uma reta crescente para .

Resposta

O gráfico da função é composto por:
  • A reta para , com um ponto aberto em (-2, -3).
  • Um ponto fechado em (-2, -1).
  • A parábola para .
  • Um ponto fechado em (1, 1).
  • A reta para .
Gráfico da função por partes
(Nota: Substitua o link da imagem pelo gráfico real conforme desenhado.)

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