Esboce o gráfico da função dada abaixo. , dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é esboçar o gráfico de uma função que é definida de formas diferentes em três intervalos distintos. Vamos usar conceitos de funções por partes e gráficos de funções lineares para isso. Precisaremos entender como cada parte da função se comporta em seu respectivo intervalo para juntar tudo no gráfico final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os três pedaços da função e os intervalos onde cada um deles atua:
Para : A função é .
Para : A função é .
Para : A função é .
Cada uma dessas expressões representa uma reta com uma inclinação e intercepto diferentes.
Passo 3
Vamos analisar cada parte separadamente.
Primeiro pedaço: para
Inclinação: 2 (a reta sobe)
Intercepto y: 1 (quando , )
Vamos encontrar dois pontos para plotar:
Quando :
Quando :
Segundo pedaço: para
Inclinação: -3 (a reta desce)
Intercepto y: 4
Vamos encontrar dois pontos:
Quando :
Quando :
Terceiro pedaço: para
Inclinação: 1 (a reta sobe)
Intercepto y: -6
Vamos encontrar dois pontos:
Quando :
Quando :
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade nos pontos onde as definições mudam, ou seja, em e .
Em :
Pelo primeiro pedaço:
Pelo segundo pedaço (limite à direita): quando se aproxima de -3 pela direita,
Como os valores não são iguais, há uma descontinuidade em .
Em :
Pelo segundo pedaço: quando se aproxima de 3 pela esquerda,
Pelo terceiro pedaço:
Novamente, os valores não são iguais, indicando outra descontinuidade em .
Passo 5
Com todas as informações em mãos, podemos agora esboçar o gráfico:
Primeiro pedaço (): Uma reta que passa pelos pontos (-3, -5) e (-4, -7), com inclinação positiva.
Segundo pedaço (): Uma reta que desce passando pelos pontos (-2, 10) e (2, -2).
Terceiro pedaço (): Uma reta que sobe passando pelos pontos (3, -3) e (4, -2).
Lembre-se das descontinuidades em e , onde o gráfico “salta”.
Resposta
O gráfico da função é composto por três retas distintas:
Uma reta ascendente definida para ,
Uma reta descendente para ,
E outra reta ascendente para ,
com descontinuidades nos pontos e . Assim, o esboço mostra três segmentos de retas conectados de maneira descontínua nesses valores de .