Esboce o gráfico da função dada abaixo.
f: R R, dada por
f(x)=rll2 x+1, & se & x in(-infty,-3] 4-3 x, & se & x in(-3,3) x-6, & se & x in[3,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é esboçar o gráfico de uma função que é definida de formas diferentes em três intervalos distintos. Vamos usar conceitos de funções por partes e gráficos de funções lineares para isso. Precisaremos entender como cada parte da função se comporta em seu respectivo intervalo para juntar tudo no gráfico final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três pedaços da função e os intervalos onde cada um deles atua:
  1. Para : A função é .
  2. Para : A função é .
  3. Para : A função é .
Cada uma dessas expressões representa uma reta com uma inclinação e intercepto diferentes.

Passo 3

Vamos analisar cada parte separadamente.
  1. Primeiro pedaço: para
    • Inclinação: 2 (a reta sobe)
    • Intercepto y: 1 (quando , )
    Vamos encontrar dois pontos para plotar:
    • Quando :
    • Quando :
  2. Segundo pedaço: para
    • Inclinação: -3 (a reta desce)
    • Intercepto y: 4
    Vamos encontrar dois pontos:
    • Quando :
    • Quando :
  3. Terceiro pedaço: para
    • Inclinação: 1 (a reta sobe)
    • Intercepto y: -6
    Vamos encontrar dois pontos:
    • Quando :
    • Quando :

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade nos pontos onde as definições mudam, ou seja, em e .
  1. Em :
    • Pelo primeiro pedaço:
    • Pelo segundo pedaço (limite à direita): quando se aproxima de -3 pela direita,
    Como os valores não são iguais, há uma descontinuidade em .
  2. Em :
    • Pelo segundo pedaço: quando se aproxima de 3 pela esquerda,
    • Pelo terceiro pedaço:
    Novamente, os valores não são iguais, indicando outra descontinuidade em .

Passo 5

Com todas as informações em mãos, podemos agora esboçar o gráfico:
  1. Primeiro pedaço ( ): Uma reta que passa pelos pontos (-3, -5) e (-4, -7), com inclinação positiva.
  2. Segundo pedaço ( ): Uma reta que desce passando pelos pontos (-2, 10) e (2, -2).
  3. Terceiro pedaço ( ): Uma reta que sobe passando pelos pontos (3, -3) e (4, -2).
Lembre-se das descontinuidades em e , onde o gráfico “salta”.

Resposta

O gráfico da função é composto por três retas distintas:
  • Uma reta ascendente definida para ,
  • Uma reta descendente para ,
  • E outra reta ascendente para ,
com descontinuidades nos pontos e . Assim, o esboço mostra três segmentos de retas conectados de maneira descontínua nesses valores de .

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