Suponha que se deseje estimar a proporção de indivíduos com uma certa moléstia em uma região. Selecionou-se uma amostra de 160 pessoas, constatando-se que 40 eram portadores. Um médico acredita que a proporção possa ser maior que 0,30 .
(28.1) Enuncie H_{0} e H_{1}
(28.2) Calcule a estatística do teste
(28.3) Para \alpha=0,05 qual o valor tabelado?
(28.4) Qual a decisão? Justifique a resposta,

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos testar a proporção verdadeira p de indivíduos com a moléstia na população, usando uma amostra de tamanho n=160 em que foram encontrados x=40 casos. O médico suspeita que p seja maior que 0,30. Vamos fazer um teste de hipótese unilateral à direita baseado na aproximação normal para proporções.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral \displaystyle \hat p = \frac{x}{n} = \frac{40}{160} = 0,25.
A estatística de teste é
z \;=\;\frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}
onde p_0=0,30. Primeiro a variância padrão:
\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} =\sqrt{\frac{0,30\cdot0,70}{160}} =\sqrt{0,21/160} \approx0,03625.
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z = \frac{0,25-0,30}{0,03625}\approx \frac{-0,05}{0,03625}\approx -1,38.

Passo 3

Para nível de significância \alpha=0,05 e teste unilateral à direita, o valor crítico tabelado é
z_{1-\alpha} = z_{0,95} \approx 1,645.

Passo 4

Comparando z_{\text{obs}}\approx -1,38 com z_{0,95}=1,645, vemos que
z_{\text{obs}} < z_{0,95}.
Portanto não rejeitamos H_0: não há evidência suficiente, ao nível de 5\%, de que a proporção verdadeira seja maior que 0,30.

Resposta

(28.1) H_0\!: p = 0,30 e H_1\!: p > 0,30.
(28.2) Estatística de teste z \approx -1,38.
(28.3) Valor crítico z_{0,95} \approx 1,645.
(28.4) Não rejeitamos H_0, pois -1,38 < 1,645.

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