Suponha que o deslocamento de P de O no instante t é dado por x=t^3-6 t^2+4, onde x é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade e a aceleração de P no instante t. Deduza que P entra em repouso duas vezes e encontre a posição e a aceleração de P no último desses dois instantes.

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento de P em função do tempo como
x(t)=t^3-6t^2+4,
onde x está em metros e t em segundos. Precisamos encontrar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) usando derivadas, depois descobrir em que instantes v(t)=0 (“repouso duas vezes”) e, por fim, no último desses instantes, calcular a posição x e a aceleração a.

Passo 2

A velocidade é a derivada de x(t) em relação a t, e a aceleração é a derivada de v(t). Assim,
v(t)=x'(t)=ddtl(t^3-6t^2+4r) =3t^2-12t,
a(t)=v'(t)=ddtl(3t^2-12tr) =6t-12

Passo 3

Para achar os instantes de repouso, basta resolver
v(t)=3t^2-12t=0 ;Longrightarrow; 3t(t-4)=0 ;Longrightarrow; t=0ou t=4
Logo, P entra em repouso duas vezes: em t=0 s e em t=4 s.

Passo 4

No último instante de repouso, t=4 s, calculamos
x(4)=4^3-6cdot4^2+4=64-96+4=-28 m,
a(4)=6cdot4-12=24-12=12 m/s^2

Resposta

v(t)=3t^2-12t
a(t)=6t-12
P entra em repouso em t=0 s e t=4 s.
No último repouso ( t=4 s):
posição x=-28 m,
aceleração a=12 m/s ^2.

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