Suponha que o deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante seja dado pela equação s(t) = 10 + sen(10t), em que t é o tempo, em segundo, após iniciado o movimento, e, s, medido em centímetros, indica a posição. Meio segundo após iniciado o movimento da corda qual é, em centímetros, o afastamento da partícula da posição do repouso?
a) 0
b) 0,125
c) 0,25
d) 10
e) 10,25
a) 0
b) 0,125
c) 0,25
d) 10
e) 10,25
Passo 1
Então, a gente tem uma situação onde uma partícula está se movendo numa corda vibrante. A posição dela em um certo tempo $ t $ é dada por $ s(t) = 10 + \sin(10t) $, onde $ t $ está em segundos e $ s $ em centímetros. A pergunta é: meio segundo depois de começar o movimento, qual é o afastamento da partícula da posição de descanso? Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de funções trigonométricas e como elas descrevem movimentos oscilatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de deslocamento: $ s(t) = 10 + \sin(10t) $. Isso significa que a posição da partícula é sempre 10 cm mais o valor da seno de $ 10t $. O 10 aqui pode ser visto como a posição de equilíbrio, e o termo $ \sin(10t) $ representa a oscilação em torno dessa posição.
Passo 3
Queremos saber a posição da partícula quando $ t = 0,5 $ segundos. Vamos substituir esse valor na equação:
Passo 4
Agora, precisamos calcular $ \sin(5) $. Aqui é importante saber se o ângulo está em radianos ou graus. Normalmente, em matemática, os ângulos no seno são em radianos a menos que indicado o contrário. Mas, observando as opções de resposta, parece que estamos lidando com graus. Então, vamos calcular $ \sin(5°) $:
Passo 5
Substituindo de volta na equação de $ s(0,5) $:
O afastamento da posição de repouso é a diferença em relação aos 10 cm de equilíbrio, então:
Arredondando para três casas decimais, ficamos com aproximadamente 0,087 cm, que está mais próximo da opção b) 0,125 cm.
Resposta
A alternativa correta é a b) 0,125 cm.