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em um grupo de 20 pessoas há 6 homens. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas de modo que nelas haja pelo menos 1 homem
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo de 20 pessoas, das quais 6 são homens. A pergunta é: quantas comissões de 4 pessoas podemos formar garantindo que pelo menos 1 homem esteja na comissão?
Aqui, vamos usar combinatória, que é uma parte da matemática que lida com contagens de maneiras de selecionar grupos sem se importar com a ordem. Vamos precisar entender e usar a fórmula de combinações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular todas as possíveis comissões de 4 pessoas que podemos formar a partir das 20 pessoas do grupo. Isso significa que estamos escolhendo 4 pessoas sem se preocupar com quem são.
A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens (no caso, 20 pessoas).
  • $ k $ é o número de itens que queremos escolher (no caso, 4 pessoas).
Então, vamos calcular $ C(20, 4) $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ C(20, 4) $:
C(20, 4)
Podemos simplificar isso cancelando os fatoriais:
C(20, 4) = 20!4!(20 - 4)! = 20!4! cdot 16!
Então, existem 4845 maneiras de formar uma comissão de 4 pessoas sem restrições.

Passo 4

Agora, queremos comissões que tenham pelo menos 1 homem. Para facilitar, vamos calcular quantas comissões não têm nenhum homem, ou seja, todas as pessoas são mulheres, e depois subtrair esse número do total de comissões que calculamos.
Temos 6 homens, então o número de mulheres é $ 20 - 6 = 14 $.
Vamos calcular quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas apenas com as mulheres.

Passo 5

Calculando comissões só com mulheres:
Usamos novamente a fórmula das combinações:
C(14, 4) = 14!4!(14 - 4)! = 14!4! cdot 10!
Simplificando:
C(14, 4) = 14 times 13 times 12 times 114 times 3 times 2 times 1 = 1001
Então, existem 1001 comissões possíveis que têm apenas mulheres.

Passo 6

Agora, para encontrar o número de comissões com pelo menos 1 homem, subtraímos as comissões sem homens do total de comissões.
Comissões com pelo menos 1 homem = C(20, 4) - C(14, 4) õ
= 4845 - 1001 = 3844

Resposta

Portanto, o número de comissões de 4 pessoas que podem ser formadas com pelo menos 1 homem é 3844.

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