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em um grupo de 20 pessoas há 6 homens. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas de modo que nelas haja pelo menos 1 homem
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em um grupo de 20 pessoas há 6 homens. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas de modo que nelas haja pelo menos 1 homem
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo de 20 pessoas, das quais 6 são homens. A pergunta é: quantas comissões de 4 pessoas podemos formar garantindo que pelo menos 1 homem esteja na comissão?
Aqui, vamos usar combinatória, que é uma parte da matemática que lida com contagens de maneiras de selecionar grupos sem se importar com a ordem. Vamos precisar entender e usar a fórmula de combinações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular todas as possíveis comissões de 4 pessoas que podemos formar a partir das 20 pessoas do grupo. Isso significa que estamos escolhendo 4 pessoas sem se preocupar com quem são.
A fórmula para combinações é:
Onde:
- $ n $ é o total de itens (no caso, 20 pessoas).
- $ k $ é o número de itens que queremos escolher (no caso, 4 pessoas).
Então, vamos calcular $ C(20, 4) $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ C(20, 4) $:
Podemos simplificar isso cancelando os fatoriais:
Então, existem 4845 maneiras de formar uma comissão de 4 pessoas sem restrições.
Passo 4
Agora, queremos comissões que tenham pelo menos 1 homem. Para facilitar, vamos calcular quantas comissões não têm nenhum homem, ou seja, todas as pessoas são mulheres, e depois subtrair esse número do total de comissões que calculamos.
Temos 6 homens, então o número de mulheres é $ 20 - 6 = 14 $.
Vamos calcular quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas apenas com as mulheres.
Passo 5
Calculando comissões só com mulheres:
Usamos novamente a fórmula das combinações:
Simplificando:
Então, existem 1001 comissões possíveis que têm apenas mulheres.
Passo 6
Agora, para encontrar o número de comissões com pelo menos 1 homem, subtraímos as comissões sem homens do total de comissões.
Resposta
Portanto, o número de comissões de 4 pessoas que podem ser formadas com pelo menos 1 homem é 3844.