Suponha que « variável aleatória contínua X tenha \mathrm{fdp} f(x)=e^{-x}, x>0. Ache a fdp das seguintes variáveis aleatórias:
Y=X^{2},

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória contínua X tem densidade de probabilidade
f_X(x)=e^{-x},\quad x>0.
Pede-se a densidade de probabilidade da variável Y definida por
Y = X^{2}.
Informações importantes que temos aqui:
\text{(i) } X\ge 0 \text{ com probabilidade 1 (pois a densidade está definida para } x>0\text{);}á
\text{(ii) } Y=X^{2}\Rightarrow Y\ge 0.
A tarefa é encontrar f_Y(y), a fdp de Y, para todo y.

Passo 2

Vou explicar a ideia principal (fórmula) que usamos para transformar densidades quando Y=g(X) e g é monótona e diferenciável.
Fórmula (transformação monótona): se Y=g(X) com g estritamente monotona e diferenciável, então a densidade de Y é dada por
f_Y(y)=f_X\big(g^{-1}(y)\big)\cdot\left|\frac{d}{dy}\big(g^{-1}(y)\big)\right|,
para y no conjunto imagem de g. Aqui:
  • f_X é a densidade de X;
  • g^{-1}(y) é a inversa de g;
  • \frac{d}{dy}(g^{-1}(y)) é a derivada da inversa em relação a y;
  • o módulo aparece porque precisamos da taxa de variação absoluta entre as escalas de x e y.
Se preferir, pode-se raciocinar via CDF: F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y), expressar em termos de X e derivar F_Y para obter f_Y. Vou usar essa ideia também para reforçar.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: g(x)=x^{2} com domínio x>0. Em x>0, g é estritamente crescente, logo tem inversa
g^{-1}(y)=\sqrt{y},\quad y\ge 0.
Calcule a derivada da inversa:
\frac{d}{dy}\big(\sqrt{y}\big)=\frac{1}{2\sqrt{y}},\quad y>0.
Agora apliquei a fórmula da transformação:
f_Y(y)=f_X\big(\sqrt{y}\big)\cdot\left|\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|.
Substituindo f_X(x)=e^{-x} com x=\sqrt{y},
f_Y(y)=e^{-\sqrt{y}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}},\quad y>0.

Passo 4

Para reforçar (e mostrar passo a passo como fazer na prova sem esquecer nada), faço pelo método da CDF — é ótimo para entender por que a fórmula funciona.
Para y<0 temos F_Y(y)=0 porque Y\ge 0. Para y\ge 0:
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X^{2}\le y)=P\big(0<X\le \sqrt{y}\big).
Como X tem densidade f_X(x)=e^{-x} em x>0,
F_Y(y)=\int_{0}^{\sqrt{y}} e^{-x}\,dx=\Big[-e^{-x}\Big]_{0}^{\sqrt{y}}=1-e^{-\sqrt{y}}.
Agora derivamos F_Y(y) em relação a y (regra da cadeia). A derivada de 1 é 0. A derivada de -e^{-\sqrt{y}} é
-\big(-e^{-\sqrt{y}}\big)\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=e^{-\sqrt{y}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}.
Portanto
f_Y(y)=\frac{e^{-\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}},\quad y>0,
e f_Y(y)=0 para y\le 0.

Passo 5

Verificação rápida de normalização (para você ficar confiante que está certo): calcular \int_{0}^{\infty} f_Y(y)\,dy. Faça a substituição u=\sqrt{y} (logo y=u^{2}, dy=2u\,du):
\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}}\,dy=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u}}{2u}\cdot 2u\,du=\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,du=1.
Tudo confere: é uma densidade válida.

Resposta

f_Y(y)=\begin{cases} \dfrac{e^{-\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}}, & y>0,\\[6pt] 0, & y\le 0. \end{cases}]

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