Suponha que « variável aleatória contínua
tenha
,
. Ache a fdp das seguintes variáveis aleatórias:
.
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória contínua
tem fdp
(e
para
). Pede-se a fdp da variável aleatória
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Estratégia (explicação do método que usaremos, passo a passo didático): uma forma segura de obter a fdp de uma transformação de uma variável contínua é primeiro achar a função de distribuição acumulada (FDA)
e depois derivar:
. Vou explicar cada etapa com calma para você conseguir reproduzir na prova.
Conceitos úteis:
- A FDA de
é . Para uma fdp conhecida, . - Se
com monotônica (aqui é estritamente crescente), então
- Depois diferenciamos:
. Pela regra da cadeia, isso dá . No caso linear com , temos e . Se (como aqui ), não precisamos do valor absoluto; em geral usa-se para cobrir .
Passo 3
Calculemos a FDA
explicitamente (é bom ver isso para entender):
Como
para
e
para
, temos, para
,
. Para
,
Passo 4
Agora obtenha
usando a relação
. Aqui
. Então:
- Se
, então , logo . Portanto para . - Se
, então e usamos com :
Passo 5
Diferencie
para obter
. Para
já sabemos
, então
aí. Para
, derivamos
Aplicando a regra da cadeia: a derivada de
é
. Aqui
tem
. Assim,
para
.
Nota interpretativa: isto coincide com a fórmula direta para transformações lineares
com
,
pois aqui
,
e
.
Passo 6
Verificação rápida de normalização (apenas para dar confiança): verificar que
.
Faça a mudança
, então
e os limites vão de
a
:
Ótimo — está normalizada.