Suponha que, em um determinado fim de semana, o número de acidentes em um certo cruzamento tenha distribuição de Poisson com média 0,7. Qual é a probabilidade de que ocorram pelo menos três acidentes no cruzamento durante o fim de semana?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: o número de acidentes no cruzamento durante um fim de semana segue uma distribuição de Poisson com média \lambda = 0,7.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de ocorrerem pelo menos três acidentes durante o fim de semana? Ou seja, queremos calcular \mathbb{P}(X \ge 3), onde X é o número de acidentes nesse fim de semana.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da distribuição de Poisson (é importante entender essa fórmula para aplicar na prova).
  • Definição: se X tem Poisson com parâmetro \lambda, então a probabilidade de X=k (para k=0,1,2,\dots) é dada por
\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!}.
  • O que cada símbolo significa:
    • \lambda é a média (esperança) do número de eventos no intervalo considerado; aqui \lambda=0,7.
    • k! é fatorial de k (por exemplo, 2! = 2\cdot1 = 2).
    • e^{-\lambda} é a função exponencial avaliada em -\lambda.
Essa fórmula é a peça-chave — sempre que precisar da probabilidade de exatamente k ocorrências, use-a.

Passo 3

Transformamos a pergunta “pelo menos três acidentes” numa expressão que fica fácil de calcular usando complementos. Note que
\mathbb{P}(X\ge 3)=1-\mathbb{P}(X\le 2).
Essa transformação usa a regra do complementar: a probabilidade de X ser maior ou igual a 3 é 1 menos a probabilidade de X ser 0, 1 ou 2.

Passo 4

Escrevemos explicitamente \mathbb{P}(X\le 2) como soma das probabilidades de 0,1,2:
\mathbb{P}(X\le 2)=\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)+\mathbb{P}(X=2).
Usando a fórmula da Poisson com \lambda=0,7 temos:
\mathbb{P}(X=0)=e^{-0,7}\frac{0,7^{0}}{0!}=e^{-0,7},
\mathbb{P}(X=1)=e^{-0,7}\frac{0,7^{1}}{1!}=e^{-0,7}\cdot 0,7,
\mathbb{P}(X=2)=e^{-0,7}\frac{0,7^{2}}{2!}=e^{-0,7}\cdot\frac{0,7^{2}}{2}.

Passo 5

Fatoramos e^{-0,7} para simplificar a soma:
\mathbb{P}(X\le 2)=e^{-0,7}\left(1 + 0,7 + \frac{0,7^{2}}{2}\right).
Calcule o termo dentro do parêntese primeiro:
0,7^{2}=0,49,\quad \frac{0,49}{2}=0,245,
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1 + 0,7 + \frac{0,7^{2}}{2}=1 + 0,7 + 0,245=1,945.
Portanto
\mathbb{P}(X\le 2)=e^{-0,7}\cdot 1,945.

Passo 6

Agora precisamos do valor numérico de e^{-0,7}. Usando uma aproximação decimal (que normalmente é permitida em provas; se a prova pede exatidão você pode deixar em termos de e^{-0,7}), temos
e^{-0,7}\approx 0,496585.
Multiplicando:
\mathbb{P}(X\le 2)\approx 0,496585\times 1,945.
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo (sem segredo de calculadora — só álgebra):
0,496585\times 1,945 = 0,496585\times(2 - 0,055) = 0,496585\times 2 - 0,496585\times 0,055.
Calcule cada parte:
0,496585\times 2 = 0,993170,
0,496585\times 0,055 \approx 0,027312.
Subtraindo:
0,993170 - 0,027312 \approx 0,965858.
(Conferindo com soma direta dos termos individuais: \mathbb{P}(X=0)\approx 0,496585, \mathbb{P}(X=1)\approx 0,347610, \mathbb{P}(X=2)\approx 0,121663; soma \approx 0,965858.)

Passo 7

Finalmente:
\mathbb{P}(X\ge 3)=1-\mathbb{P}(X\le 2)\approx 1 - 0,965858 = 0,034142.
Arredondando de forma razoável (por exemplo, quatro casas decimais), obtemos \mathbb{P}(X\ge 3)\approx 0,0341, ou seja, cerca de 3{,}41\%.

Resposta

0,03414

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