Suponha que, em um determinado fim de semana, o número de acidentes em um certo cruzamento tenha distribuição de Poisson com média 0,7. Qual é a probabilidade de que ocorram pelo menos três acidentes no cruzamento durante o fim de semana?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: o número de acidentes no cruzamento durante um fim de semana segue uma distribuição de Poisson com média
. - Pergunta: qual é a probabilidade de ocorrerem pelo menos três acidentes durante o fim de semana? Ou seja, queremos calcular
, onde é o número de acidentes nesse fim de semana.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da distribuição de Poisson (é importante entender essa fórmula para aplicar na prova).
- Definição: se
tem Poisson com parâmetro , então a probabilidade de (para ) é dada por
- O que cada símbolo significa:
-
é a média (esperança) do número de eventos no intervalo considerado; aqui . -
é fatorial de (por exemplo, ). -
é a função exponencial avaliada em .
-
Essa fórmula é a peça-chave — sempre que precisar da probabilidade de exatamente
ocorrências, use-a.
Passo 3
Transformamos a pergunta “pelo menos três acidentes” numa expressão que fica fácil de calcular usando complementos. Note que
Essa transformação usa a regra do complementar: a probabilidade de
ser maior ou igual a 3 é 1 menos a probabilidade de
ser 0, 1 ou 2.
Passo 4
Escrevemos explicitamente
como soma das probabilidades de
:
Usando a fórmula da Poisson com
temos:
Passo 5
Fatoramos
para simplificar a soma:
Calcule o termo dentro do parêntese primeiro:
logo
Portanto
Passo 6
Agora precisamos do valor numérico de
. Usando uma aproximação decimal (que normalmente é permitida em provas; se a prova pede exatidão você pode deixar em termos de
), temos
Multiplicando:
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo (sem segredo de calculadora — só álgebra):
Calcule cada parte:
Subtraindo:
(Conferindo com soma direta dos termos individuais:
,
,
; soma
.)
Passo 7
Finalmente:
Arredondando de forma razoável (por exemplo, quatro casas decimais), obtemos
, ou seja, cerca de
.