Suponha que X tenha distribuição normal com média igual a 1 e variância igual a 4. Encontre o valor de cada uma das seguintes probabilidades:

Passo 1

O enunciado nos dá que X tem distribuição normal com média igual a 1 e variância igual a 4. Ou seja:
\mu = 1,\qquad \sigma^2 = 4 \Rightarrow \sigma = 2.
O enunciado pede para “encontrar o valor de cada uma das seguintes probabilidades”, mas o usuário não forneceu a lista dessas probabilidades (por exemplo, não foi dito se é P(X\le a), P(X>3), P(0<X<2), P(|X-1|>c), etc.). Como as probabilidades específicas a serem calculadas não foram informadas, não há como calcular valores numéricos concretos para o exercício pedido.

Passo 2

Mesmo sem as probabilidades específicas, vou te ensinar passo a passo o método que se usa na prova para qualquer probabilidade envolvendo X. A ideia central é padronizar X para usar a tabela (ou função) da normal padrão.
Definição de padronização:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja Z\sim N(0,1). Explicando cada símbolo:
  • X é a variável original (aqui com \mu=1 e \sigma=2);
  • \mu é a média de X (aqui \mu=1);
  • \sigma é o desvio-padrão de X (aqui \sigma=2);
  • Z é a versão padronizada, com média 0 e variância 1.
A utilidade disso é que probabilidades de X são transformadas em probabilidades de Z, cujos valores podemos obter na tabela da normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z).

Passo 3

Regras de tradução (essas fórmulas são o que você deve aplicar na prova):
  • Para P(X\le a):
P(X\le a)=P\!\left(Z\le \frac{a-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
  • Para P(X>a):
P(X>a)=1-P(X\le a)=1-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
  • Para P(a<X\le b):
P(a<X\le b)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
  • Para probabilidade envolvendo valor absoluto, por exemplo P(|X-\mu|>c):
P(|X-\mu|>c)=P(X<\mu-c)+P(X>\mu+c)=2\big(1-\Phi\!\left(\frac{c}{\sigma}\right)\big),
usando a simetria da normal padrão.
Observação sobre a simetria da normal padrão: para z>0,
\Phi(-z)=1-\Phi(z),
e \Phi(0)=0,5. Essas relações ajudam a evitar erros ao lidar com limites negativos.

Passo 4

Vou mostrar como aplicar isso com exemplos concretos (exemplos típicos que costumam aparecer na prova). Não estou adivinhando o que foi pedido na sua questão — são só exemplos para você aprender a fazer.
Exemplo A — calcular P(X\le 1):
Calcule z=\dfrac{1-\mu}{\sigma}=\dfrac{1-1}{2}=0.
Então
P(X\le 1)=\Phi(0)=0,5.
Interpretação: como 1 é a média, metade da distribuição está à esquerda.
Exemplo B — calcular P(X>3):
Calcule z=\dfrac{3-\mu}{\sigma}=\dfrac{3-1}{2}=1.
Então
P(X>3)=1-\Phi(1).
Usando a tabela da normal padrão (valor-padrão): \Phi(1)\approx 0,8413. Assim
P(X>3)\approx 1-0,8413=0,1587.
Dica prática: sem calculadora você memorizando alguns pontos como \Phi(0)=0,5, \Phi(1)\approx 0,8413, \Phi(1,96)\approx 0,975 já resolve muitos exercícios rápidos.
Exemplo C — calcular P(-1<X<2):
Calcule z para os limites:
z_{\text{inferior}}=\dfrac{-1-\mu}{\sigma}=\dfrac{-1-1}{2}=-1, \qquad z_{\text{superior}}=\dfrac{2-\mu}{\sigma}=\dfrac{2-1}{2}=0,5.
Então
P(-1<X<2)=\Phi(0,5)-\Phi(-1).
Usando simetria, \Phi(-1)=1-\Phi(1)=1-0,8413=0,1587. E \Phi(0,5)\approx 0,6915. Assim
P(-1<X<2)\approx 0,6915-0,1587=0,5328.
Esses valores vêm da tabela; se não lembrar o número exato, marque \Phi(0,5) e \Phi(1) na tabela durante a prova.

Passo 5

Resumo prático para a prova (um roteiro rápido que você pode decorar):
  1. Identifique \mu e \sigma. Aqui \mu=1,\\ \sigma=2.
  2. Transforme o(s) ponto(s) a,b em z-scores usando z=(a-\mu)/\sigma.
  3. Use a tabela da normal padrão \Phi (ou calculadora) para obter \Phi(z).
  4. Combine as \Phi conforme as fórmulas do Passo 3 para obter a probabilidade pedida.
  5. Lembre-se da simetria: \Phi(-z)=1-\Phi(z) e \Phi(0)=0,5.
Como conclusão: sem a lista concreta de probabilidades que você quer calcular, não posso fornecer os números finais específicos do exercício que você enviou. Se quiser, me mande a lista (por exemplo: P(X\le 0), P(X>4), P(0<X<3), etc.) e eu calculo passo a passo cada uma aplicando o método que te ensinei.

Resposta

Não é possível calcular as probabilidades porque o enunciado não forneceu quais probabilidades específicas devem ser calculadas.

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