Suponha que as variáveis aleatórias
constituam
amostras aleatórias de Bernoulli com parâmetro
. Determine a probabilidade condicional de que
, dado que:
para
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
-
Informações dadas:
- Temos
variáveis aleatórias . - Cada
é uma amostra de Bernoulli com parâmetro . Ou seja, para cada , - As amostras são independentes entre si (implícito em “amostras aleatórias de Bernoulli”).
- Temos
-
O que é pedido:
- Calcular a probabilidade condicional
para .
- Calcular a probabilidade condicional
Passo 2
Vamos lembrar a definição de probabilidade condicional que vamos usar: para dois eventos
e
com
,
Aqui vamos tomar
e
. Então precisamos calcular
(numerador) e
(denominador).
Passo 3
Cálculo do numerador
.
O evento “
e
” é equivalente ao evento “
e
”. Como as
são independentes, a probabilidade conjunta fatoriza. A probabilidade de
é
. A probabilidade de exatamente
sucessos entre as
variáveis
é dada pela distribuição binomial com parâmetros
e
:
Multiplicando os dois (independência),
Passo 4
Cálculo do denominador
.
A soma
tem distribuição binomial com parâmetros
e
. Portanto
Passo 5
Formamos a razão para obter a probabilidade condicional:
Os fatores
cancelam, restando apenas a razão dos coeficientes binomiais:
Passo 6
Simplificação da razão dos coeficientes binomiais.
Usamos a identidade combinatória
Essa identidade vem de pensar: escolher
de
pode ser feito escolhendo primeiro qual dos
elementos será um elemento especial entre os escolhidos (fator
) e dividindo pelo número de posições
que esse especial poderia ocupar; ou simplesmente pela fórmula factorial:
e então
Passo 7
Concluímos, portanto, que
Como comentário intuitivo (não necessário para o cálculo): pelo princípio da simetria, dado que sabemos que existem exatamente
uns no total, todos os índices
são indistinguíveis a priori, então a probabilidade de que a posição
seja uma dessas
é
divididos pelas
posições — exatamente
. Isso confirma o resultado obtido por contas.