Suponha que as variáveis aleatórias X_{1}, \ldots, X_{n} constituam n amostras aleatórias de Bernoulli com parâmetro p. Determine a probabilidade condicional de que X_{1}=1, dado que:
\sum_{i=1}^{n} X_{i}=k para k=\{1,2, \ldots, n\}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Informações dadas:
    • Temos n variáveis aleatórias X_{1},\ldots,X_{n}.
    • Cada X_{i} é uma amostra de Bernoulli com parâmetro p. Ou seja, para cada i, P(X_{i}=1)=p\quad\text{e}\quad P(X_{i}=0)=1-p.
    • As amostras são independentes entre si (implícito em “amostras aleatórias de Bernoulli”).
  • O que é pedido:
    • Calcular a probabilidade condicional P\!\bigl(X_{1}=1 \mid \sum_{i=1}^{n} X_{i}=k\bigr)para k\in\{1,2,\ldots,n\}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de probabilidade condicional que vamos usar: para dois eventos A e B com P(B)>0,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui vamos tomar A=\{X_{1}=1\} e B=\{\sum_{i=1}^{n}X_{i}=k\}. Então precisamos calcular P(X_{1}=1 \text{ e } \sum_{i=1}^{n}X_{i}=k) (numerador) e P(\sum_{i=1}^{n}X_{i}=k) (denominador).

Passo 3

Cálculo do numerador P(X_{1}=1 \text{ e } \sum_{i=1}^{n}X_{i}=k).
O evento “ X_{1}=1 e \sum_{i=1}^{n}X_{i}=k” é equivalente ao evento “ X_{1}=1 e \sum_{i=2}^{n}X_{i}=k-1”. Como as X_i são independentes, a probabilidade conjunta fatoriza. A probabilidade de X_{1}=1 é p. A probabilidade de exatamente k-1 sucessos entre as n-1 variáveis X_{2},\dots,X_{n} é dada pela distribuição binomial com parâmetros n-1 e p:
P\!\Bigl(\sum_{i=2}^{n}X_{i}=k-1\Bigr)=\binom{n-1}{k-1} p^{\,k-1}(1-p)^{\,(n-1)-(k-1)}.
Multiplicando os dois (independência),
P\bigl(X_{1}=1 \text{ e } \sum_{i=1}^{n}X_{i}=k\bigr) = p \cdot \binom{n-1}{k-1} p^{\,k-1}(1-p)^{\,n-k} = \binom{n-1}{k-1} p^{\,k}(1-p)^{\,n-k}.

Passo 4

Cálculo do denominador P(\sum_{i=1}^{n}X_{i}=k).
A soma \sum_{i=1}^{n}X_{i} tem distribuição binomial com parâmetros n e p. Portanto
P\!\Bigl(\sum_{i=1}^{n}X_{i}=k\Bigr)=\binom{n}{k} p^{\,k}(1-p)^{\,n-k}.

Passo 5

Formamos a razão para obter a probabilidade condicional:
P\!\bigl(X_{1}=1 \mid \sum_{i=1}^{n}X_{i}=k\bigr) = \frac{P(X_{1}=1 \text{ e } \sum_{i=1}^{n}X_{i}=k)}{P(\sum_{i=1}^{n}X_{i}=k)} = \frac{\binom{n-1}{k-1} p^{\,k}(1-p)^{\,n-k}}{\binom{n}{k} p^{\,k}(1-p)^{\,n-k}}.
Os fatores p^{\,k}(1-p)^{\,n-k} cancelam, restando apenas a razão dos coeficientes binomiais:
\frac{\binom{n-1}{k-1}}{\binom{n}{k}}.

Passo 6

Simplificação da razão dos coeficientes binomiais.
Usamos a identidade combinatória
\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}.
Essa identidade vem de pensar: escolher k de n pode ser feito escolhendo primeiro qual dos n elementos será um elemento especial entre os escolhidos (fator n) e dividindo pelo número de posições k que esse especial poderia ocupar; ou simplesmente pela fórmula factorial:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad \binom{n-1}{k-1}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!},
e então
\frac{\binom{n-1}{k-1}}{\binom{n}{k}}=\frac{(n-1)!/(k-1)!(n-k)!}{n!/(k!(n-k)!)}=\frac{(n-1)!}{n!}\cdot\frac{k!}{(k-1)!}=\frac{k}{n}.

Passo 7

Concluímos, portanto, que
P\!\bigl(X_{1}=1 \mid \sum_{i=1}^{n}X_{i}=k\bigr)=\frac{k}{n}.
Como comentário intuitivo (não necessário para o cálculo): pelo princípio da simetria, dado que sabemos que existem exatamente k uns no total, todos os índices 1,\dots,n são indistinguíveis a priori, então a probabilidade de que a posição 1 seja uma dessas k é k divididos pelas n posições — exatamente \tfrac{k}{n}. Isso confirma o resultado obtido por contas.

Resposta

\displaystyle \frac{k}{n}

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