Suponha que determinado tratamento aplicado a portadores de certa patologia cure 90 \% dos casos. Qual a probabilidade de que, entre 10 indivíduos submetidos a esse tratamento,
menos de nove tenham sido curados?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes números do enunciado):
  • Número de indivíduos submetidos ao tratamento: n=10.
  • Probabilidade de cura para cada indivíduo (assumindo independência entre os casos): p=0,9.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, entre os 10 indivíduos, menos de 9 tenham sido curados?
Em termos de variável aleatória: se X é o número de curados entre os 10, o problema pede \,P(X<9)\,, isto é P(X\le 8).

Passo 2

Modelo e fórmula que vamos usar.
Quando cada ensaio (cada paciente) tem apenas dois resultados (curado / não curado), probabilidade constante p de sucesso (cura) e resultados independentes, X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p. A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
e n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdots1.
No nosso caso n=10 e p=0,9. Para calcular P(X<9)=P(X\le 8) poderíamos somar P(X=k) para k=0,1,\dots,8, mas isso dá muitas somas. Uma forma muito mais simples é usar o complemento:
P(X<9)=1-P(X\ge9)=1-\big(P(X=9)+P(X=10)\big).
Isso reduz o trabalho a apenas dois termos.

Passo 3

Calcular P(X=10) e P(X=9).
  • Para k=10:
P(X=10)=\binom{10}{10}\,0,9^{10}\,(1-0,9)^{0}=1\cdot0,9^{10}\cdot1=0,9^{10}.
  • Para k=9:
P(X=9)=\binom{10}{9}\,0,9^{9}\,(1-0,9)^{1}=10\cdot0,9^{9}\cdot0,1.
Note que \binom{10}{9}=10 porque \dfrac{10!}{9!1!}=10.
Agora combine no complemento:
P(X<9)=1-\big(10\cdot0,1\cdot0,9^{9}+0,9^{10}\big).
Fatorando 0,9^{9}:
P(X<9)=1-0,9^{9}\big(10\cdot0,1+0,9\big)=1-1{,}9\cdot0,9^{9}.

Passo 4

Calcular numericamente 0,9^{9} e finalizar.
Vamos calcular potências de 0,9 passo a passo (sem usar calculadora complexa, só multiplicações sucessivas):
0,9^{2}=0,81, \qquad 0,9^{3}=0,729, \qquad 0,9^{4}=0,6561,
0,9^{5}=0,59049, \qquad 0,9^{6}=0,531441, \qquad 0,9^{7}=0,4782969,
0,9^{8}=0,43046721, \qquad 0,9^{9}=0,387420489.
Multiplicando por 1{,}9:
1{,}9\cdot0,9^{9}=1{,}9\cdot0,387420489=0,7360989291\\ (\text{aprox.}).
Portanto
P(X<9)=1-0,7360989291=0,2639010709\\ (\text{aprox.}).
Interpretação rápida: a probabilidade de que menos de 9 dos 10 sejam curados (ou seja, no máximo 8) é aproximadamente 26{,}39\%. Dá um pouco mais de uma chance em quatro — não é tão raro, apesar do p=0{,}9.

Resposta

P(X<9)\approx0,2639010709\approx0,2639

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