Suponha que determinado tratamento aplicado a portadores de certa patologia cure
dos casos. Qual a probabilidade de que, entre 10 indivíduos submetidos a esse tratamento,
menos de nove tenham sido curados?
menos de nove tenham sido curados?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes números do enunciado):
- Número de indivíduos submetidos ao tratamento:
. - Probabilidade de cura para cada indivíduo (assumindo independência entre os casos):
. - Pergunta: qual a probabilidade de que, entre os
indivíduos, menos de tenham sido curados?
Em termos de variável aleatória: se
é o número de curados entre os
, o problema pede
, isto é
.
Passo 2
Modelo e fórmula que vamos usar.
Quando cada ensaio (cada paciente) tem apenas dois resultados (curado / não curado), probabilidade constante
de sucesso (cura) e resultados independentes,
segue a distribuição binomial com parâmetros
e
. A fórmula para a probabilidade de exatamente
sucessos é:
onde
é o coeficiente binomial dado por
e
(fatorial) significa
.
No nosso caso
e
. Para calcular
poderíamos somar
para
, mas isso dá muitas somas. Uma forma muito mais simples é usar o complemento:
Isso reduz o trabalho a apenas dois termos.
Passo 3
Calcular
e
.
- Para
:
- Para
:
Note que
porque
.
Agora combine no complemento:
Fatorando
:
Passo 4
Calcular numericamente
e finalizar.
Vamos calcular potências de
passo a passo (sem usar calculadora complexa, só multiplicações sucessivas):
Multiplicando por
:
Portanto
Interpretação rápida: a probabilidade de que menos de
dos
sejam curados (ou seja, no máximo
) é aproximadamente
. Dá um pouco mais de uma chance em quatro — não é tão raro, apesar do
.