Em média, seis pessoas por hora utilizam os serviços de caixa automático de um banco. Qual a probabilidade de que:
exatamente cinco pessoas usem os serviços do caixaautomático durante o intervalo de uma hora?
exatamente cinco pessoas usem os serviços do caixaautomático durante o intervalo de uma hora?
Passo 1
O enunciado dá a informação média de uso do caixa automático e pede a probabilidade de um evento específico no intervalo de uma hora.
- Informação dada: em média, seis pessoas por hora usam o caixa automático. Vou anotar isso como
(este é o número médio de ocorrências por hora). - Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente cinco pessoas usem o caixa automático durante uma hora? Ou seja, queremos
, onde é o número de pessoas que usam o caixa em uma hora.
Passo 2
Modelo adequado: distribuição de Poisson. Vou explicar por que e a fórmula.
- Quando contamos ocorrências de eventos raros em intervalos fixos de tempo (ou espaço), independentes entre si, e com taxa média constante
, o número de ocorrências segue a distribuição de Poisson. - A fórmula da Poisson para a probabilidade de exatamente
ocorrências é
Aqui:
-
é a média (número esperado) de ocorrências no intervalo considerado; -
é o número de ocorrências cujo queremos calcular; -
é o fatorial de (produto ); -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
e queremos
. Substituindo na fórmula:
Vou explicar cada termo:
é o decaimento exponencial devido à Poisson;
é a potência da média elevada ao número de ocorrências;
é o fatorial de 5.
Passo 4
Calcular
passo a passo:
Calcular
:
Portanto a fração fica
Passo 5
Fazer a divisão
. Posso simplificar ou dividir direto:
- Dividindo direto:
, sobra . Logo
Assim
Passo 6
Agora calcular numericamente
e multiplicar por
.
- Um valor conhecido aproximado é
. - Multiplicando:
Em termos percentuais, isso é aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação final (curtinha e motivadora): a chance de exatamente cinco pessoas usarem o caixa numa hora, quando a média é seis por hora, é cerca de
— ou seja, umas 16 em cada 100 horas. Tá massa: agora você sabe aplicar Poisson passo a passo!