Em média, seis pessoas por hora utilizam os serviços de caixa automático de um banco. Qual a probabilidade de que:
exatamente cinco pessoas usem os serviços do caixaautomático durante o intervalo de uma hora?

Passo 1

O enunciado dá a informação média de uso do caixa automático e pede a probabilidade de um evento específico no intervalo de uma hora.
  • Informação dada: em média, seis pessoas por hora usam o caixa automático. Vou anotar isso como \lambda = 6 (este é o número médio de ocorrências por hora).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente cinco pessoas usem o caixa automático durante uma hora? Ou seja, queremos P(X=5), onde X é o número de pessoas que usam o caixa em uma hora.

Passo 2

Modelo adequado: distribuição de Poisson. Vou explicar por que e a fórmula.
  • Quando contamos ocorrências de eventos raros em intervalos fixos de tempo (ou espaço), independentes entre si, e com taxa média constante \lambda, o número de ocorrências X segue a distribuição de Poisson.
  • A fórmula da Poisson para a probabilidade de exatamente k ocorrências é
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Aqui:
  • \lambda é a média (número esperado) de ocorrências no intervalo considerado;
  • k é o número de ocorrências cujo P queremos calcular;
  • k! é o fatorial de k (produto 1\cdot2\cdot3\cdots k);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,718281828\ldots).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: \lambda=6 e queremos k=5. Substituindo na fórmula:
P(X=5)=e^{-6}\,\frac{6^{5}}{5!}.
Vou explicar cada termo: e^{-6} é o decaimento exponencial devido à Poisson; 6^{5} é a potência da média elevada ao número de ocorrências; 5! é o fatorial de 5.

Passo 4

Calcular 6^{5} passo a passo:
6^{2}=36,\quad 6^{3}=6^{2}\cdot6=36\cdot6=216,
6^{4}=216\cdot6=1296,\quad 6^{5}=1296\cdot6=7776.
Calcular 5!:
5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120.
Portanto a fração fica
\frac{6^{5}}{5!}=\frac{7776}{120}.

Passo 5

Fazer a divisão \dfrac{7776}{120}. Posso simplificar ou dividir direto:
  • Dividindo direto: 120\cdot64=7680, sobra 96. Logo
\frac{7776}{120}=64+\frac{96}{120}=64+\frac{4}{5}=64,8.
Assim
P(X=5)=e^{-6}\cdot 64{,}8.

Passo 6

Agora calcular numericamente e^{-6} e multiplicar por 64{,}8.
  • Um valor conhecido aproximado é e^{-6}\approx 0{,}0024787521766663585.
  • Multiplicando:
64{,}8 \times 0{,}0024787521766663585 \approx 0{,}1606231410.
Em termos percentuais, isso é aproximadamente 16{,}062\%.

Passo 7

Interpretação final (curtinha e motivadora): a chance de exatamente cinco pessoas usarem o caixa numa hora, quando a média é seis por hora, é cerca de 0{,}1606 — ou seja, umas 16 em cada 100 horas. Tá massa: agora você sabe aplicar Poisson passo a passo!

Resposta

P(X=5)=0,1606231410
P(X=5)\approx16{,}062\%

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