Suponha que determinado tratamento aplicado a portadores de certa patologia cure
dos casos. Qual a probabilidade de que, entre 10 indivíduos submetidos a esse tratamento,
oito tenham sido curados?
oito tenham sido curados?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, entre 10 indivíduos submetidos a um tratamento que cura
dos casos, exatamente 8 tenham sido curados. Dados fornecidos:
- Probabilidade de cura em um indivíduo:
. - Número de indivíduos:
. - Número de curados desejado:
.
Passo 2
Modelo probabilístico apropriado: cada indivíduo tem resultado “curado” ou “não curado”, com probabilidade
fixa e provas (pacientes) independentes. Esse cenário é bem modelado pela distribuição binomial.
Definição e fórmula: seja
o número de curados entre
ensaios independentes com probabilidade de sucesso
. Então
e a probabilidade de exatamente
sucessos é dada por
Explicando cada termo:
-
é o número de maneiras de escolher quais dentre os são curados. -
é a probabilidade de que esses escolhidos tenham sucesso (curados). -
é a probabilidade de que os outros falhem (não curados).
Passo 3
Aplicando a fórmula com
,
,
:
Agora calculamos cada fator separadamente.
Passo 4
Cálculo do coeficiente binomial
. Usando fatoriais:
Simplificando sem calcular
inteiro:
Passo 5
Cálculo de
. É prático escrever como fração:
Calculando
:
,
,
.
Então
Então
Passo 6
Cálculo de
:
Passo 7
Multiplicando tudo:
Primeiro
.
Depois .
Depois
Também é útil a forma exata em termos de inteiros: