Suponha que determinado tratamento aplicado a portadores de certa patologia cure 90 \% dos casos. Qual a probabilidade de que, entre 10 indivíduos submetidos a esse tratamento,
oito tenham sido curados?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, entre 10 indivíduos submetidos a um tratamento que cura 90\% dos casos, exatamente 8 tenham sido curados. Dados fornecidos:
  • Probabilidade de cura em um indivíduo: p=0,9.
  • Número de indivíduos: n=10.
  • Número de curados desejado: k=8.

Passo 2

Modelo probabilístico apropriado: cada indivíduo tem resultado “curado” ou “não curado”, com probabilidade p fixa e provas (pacientes) independentes. Esse cenário é bem modelado pela distribuição binomial.
Definição e fórmula: seja X o número de curados entre n ensaios independentes com probabilidade de sucesso p. Então
X \sim \text{Bin}(n,p)
e a probabilidade de exatamente k sucessos é dada por
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada termo:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k dentre os n são curados.
  • p^{k} é a probabilidade de que esses k escolhidos tenham sucesso (curados).
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade de que os outros n-k falhem (não curados).

Passo 3

Aplicando a fórmula com n=10, k=8, p=0,9:
\mathbb{P}(X=8)=\binom{10}{8}\,(0,9)^{8}\,(0,1)^{2}.
Agora calculamos cada fator separadamente.

Passo 4

Cálculo do coeficiente binomial \binom{10}{8}. Usando fatoriais:
\binom{10}{8}=\frac{10!}{8!\,2!}.
Simplificando sem calcular 10! inteiro:
\frac{10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot2!}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=45.

Passo 5

Cálculo de p^{k}=(0,9)^{8}. É prático escrever como fração:
(0,9)^{8}=\left(\frac{9}{10}\right)^{8}=\frac{9^{8}}{10^{8}}.
Calculando 9^{8}: 9^{2}=81, 9^{4}=81^{2}=6561, 9^{8}=6561^{2}=43046721.
Então
(0,9)^{8}=\frac{43046721}{100000000}=0,43046721.

Passo 6

Cálculo de (1-p)^{n-k}=(0,1)^{2}:
(0,1)^{2}=0,01.

Passo 7

Multiplicando tudo:
\mathbb{P}(X=8)=45\times 0,43046721\times 0,01.
Primeiro 0,43046721\times 0,01=0,0043046721.
Depois 45\times 0,0043046721=0,1937102445.
Também é útil a forma exata em termos de inteiros:
\mathbb{P}(X=8)=\frac{45\cdot 9^{8}}{10^{10}}.

Resposta

\displaystyle \frac{45\cdot 9^{8}}{10^{10}}\approx 0,1937102445

Exercícios relacionados