Suponha um dipolo magnético com polos de intensidades +m e -m separados por uma distância l, situado a uma profundidade z e orientado horizontalmente de forma que o polo + encontra-se voltado para o norte e o polo voltado para o sul.
a) Mostre que a anomalia magnética observada em superfície é descrita pelas equações:
\Delta H=\frac{C m\left(x-\frac{l}{2}\right)}{\left(z^{2}+\left(x-\frac{l}{2}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{C m\left(x+\frac{l}{2}\right)}{\left(z^{2}+\left(x+\frac{l}{2}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \quad \text { e } \quad \Delta Z=\frac{C m z}{\left(z^{2}+\left(x+\frac{l}{2}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{C m z}{\left(z^{2}+\left(x-\frac{l}{2}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
Sendo C uma constante e x a distância sobre a superfície na direção norte - sul entre o ponto onde se mede a anomalia e o ponto imediatamente acima do centro do dipolo.
b) Faça um esboço do gráfico das componentes horizontal \Delta H e vertical \Delta Z em função da distância x.

Passo 1

O enunciado descreve um dipolo magnético formado por dois polos de intensidades \pm m separados por uma distância l, enterrado a uma profundidade z e orientado horizontalmente no eixo norte–sul, com o polo +m voltado para o norte e o polo -m para o sul.
Conteúdo: campo magnético de polos pontuais e superposição vetorial.
Vamos colocar a origem x=0 na vertical sobre o ponto médio entre os polos e adotar eixo x positivo para o norte e eixo z positivo para cima (superfície em z=0).

Passo 2

As posições dos polos são
P_+=(x_+,z_+)=(+\tfrac{l}{2},-z), \qquad P_-=(x_-,z_-)=( -\tfrac{l}{2},-z).
O ponto de observação na superfície é (x,0). Para cada polo, o vetor posição é
\mathbf r_+=\bigl(x-\tfrac{l}{2},\;0-(-z)\bigr) =(x-\tfrac{l}{2},\,z),
\mathbf r_-=\bigl(x+\tfrac{l}{2},\,z\bigr).

Passo 3

Recordando que o campo magnético (ou anomalia) produzido por um polo de intensidade m em \mathbf r vale, até uma constante geomagnética C,
\mathbf H(\mathbf r) = C\,m\,\frac{\mathbf r}{\|\mathbf r\|^3},
então o campo total é \mathbf H_++\mathbf H_- com m_+=+m e m_-=-m.

Passo 4

Horizontal x do dipolo:
\Delta H =H_x^+ + H_x^- =C\,m\, \frac{x-\tfrac l2}{\bigl[z^2+(x-\tfrac l2)^2\bigr]^{3/2}} \;+\; C\,(-m)\, \frac{x+\tfrac l2}{\bigl[z^2+(x+\tfrac l2)^2\bigr]^{3/2}},
isto é,
\Delta H =\frac{C\,m\,\bigl(x-\tfrac l2\bigr)}{\bigl[z^2+(x-\tfrac l2)^2\bigr]^{3/2}} -\frac{C\,m\,\bigl(x+\tfrac l2\bigr)}{\bigl[z^2+(x+\tfrac l2)^2\bigr]^{3/2}}.

Passo 5

Vertical z do dipolo:
\Delta Z =H_z^+ + H_z^- =C\,m\, \frac{z}{\bigl[z^2+(x-\tfrac l2)^2\bigr]^{3/2}} \;+\; C\,(-m)\, \frac{z}{\bigl[z^2+(x+\tfrac l2)^2\bigr]^{3/2}}
\phantom{\Delta Z} =\frac{C\,m\,z}{\bigl[z^2+(x+\tfrac l2)^2\bigr]^{3/2}} -\frac{C\,m\,z}{\bigl[z^2+(x-\tfrac l2)^2\bigr]^{3/2}}.

Passo 6

Esboço qualitativo em função de x: \Delta H(x) e \Delta Z(x) são funções ímpares \Delta H(-x)=-\Delta H(x), mesma para \Delta Z, passam por zero em x=0 e tendem a zero para |x|\to\infty.
Em ASCII:
Para \Delta H:
ΔH
  • | /\ /\
    | / \ / \
    0 ───┼────/────\────/────\──→ x
    | / \ / \
  • | / / \
Tem um mínimo negativo para x>0 e simétrico máximo positivo para x<0.
Para \Delta Z:
ΔZ
  • | \ /
    | \ /
    0 ───┼------------/--------→ x
    | \ /
  • | /
Tem um lóbulo negativo para x>0 e simétrico positivo para x<0.

Resposta

(a)
\Delta H =\frac{C\,m\,\bigl(x-\tfrac l2\bigr)} {\bigl[z^2+(x-\tfrac l2)^2\bigr]^{3/2}} -\frac{C\,m\,\bigl(x+\tfrac l2\bigr)} {\bigl[z^2+(x+\tfrac l2)^2\bigr]^{3/2}},
\Delta Z =\frac{C\,m\,z} {\bigl[z^2+(x+\tfrac l2)^2\bigr]^{3/2}} -\frac{C\,m\,z} {\bigl[z^2+(x-\tfrac l2)^2\bigr]^{3/2}}.
(b)
Gráficos ímpares com zero em x=0, lobos opostos:
- \Delta H tem mínimo para x>0 e máximo simétrico para x<0.
- \Delta Z tem lóbulo negativo em x>0 e positivo em x<0.

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