Suponha que duas grandezas físicas,
e
, tenham unidades diferentes. Das seguintes operações matemáticas, quais poderiam ter significado físico e quais NÃO têm significado físico? Assuma que as constantes numéricas são adimensionais.
Passo 1
Beleza, olha só o enunciado: temos duas grandezas físicas A e B com unidades diferentes (“dimensões” diferentes). A pergunta é: entre várias operações matemáticas envolvendo A e B, quais fazem sentido fisicamente e quais não?
Conteúdo: análise dimensional – ou seja, como tratamos unidades quando fazemos soma, produto, função, etc.
O que vamos precisar:
Conteúdo: análise dimensional – ou seja, como tratamos unidades quando fazemos soma, produto, função, etc.
O que vamos precisar:
- Saber quando soma/subtração é válida (mesma dimensão).
- Entender produto e quociente de grandezas.
- Ver regras para potências e raízes.
- Ver porque funções como exponencial, log e trig só aceitam argumento sem dimensão.
Passo 2
Teoria rápida: para somar ou subtrair duas quantidades, elas devem ter exatamente a mesma dimensão (unidade). Exemplo: não dá para fazer “5 m + 3 s” porque metro ≠ segundo.
Aplicando a A + B ou A – B: como A e B são de unidades diferentes, não dá. Fica sem sentido físico.
Aplicando a A + B ou A – B: como A e B são de unidades diferentes, não dá. Fica sem sentido físico.
Passo 3
Teoria rápida: posso multiplicar ou dividir grandezas livremente, o resultado só herda as combinações de unidades.
- A × B gera algo com unidade [A]·[B].
- A / B gera [A]/[B].
Não há problema nenhum aqui: tanto faz se A é metro e B é segundo — você termina com metro·segundo ou metro/segundo.
Passo 4
Teoria rápida: elevar uma grandeza a uma potência racional é tranquilo, mas o resultado terá unidade elevada também.
- A² tem unidade [A]².
- √A tem unidade √[A].
Só cuidado ao interpretar: às vezes √(kg) não aparece em física pura, mas do ponto de vista dimensional faz sentido.
Então A² e raiz quadrada de A são operações válidas.
Passo 5
Teoria rápida: funções como exponencial, logaritmo, seno, cosseno só aceitam argumentos adimensionais.
Por quê? Porque a definição via série de Taylor envolve somar termos numéricos puros. Se você botar “exp(A)” e A tem unidade, não dá para somar 1 + A + A²/2!
Logo:
Por quê? Porque a definição via série de Taylor envolve somar termos numéricos puros. Se você botar “exp(A)” e A tem unidade, não dá para somar 1 + A + A²/2!
Logo:
- exp(A), ln(A), sen(A), cos(A) só fazem sentido se A for adimensional.
- exp(A/B) poderia funcionar se A/B for adimensional (por exemplo A é comprimento e B outro comprimento).
Resposta
Operações COM sentido físico:
- Produto A·B
- Quociente A/B
- Potências Aⁿ (e raízes)
- exp(A/B), ln(A/B), sen(A/B), etc., desde que o argumento A/B seja adimensional
Operações SEM sentido físico:
- Soma A + B e subtração A – B (dimensões diferentes)
- exp(A), ln(A), sen(A), cos(A) se A tiver unidade não nula