Suponha o elétron do átomo de hidrogênio no estado com numero quântico principal a 5;
O que ocorre a esse elétron se ele absorve 0,075 \mathrm{eV} de energia.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Um elétron do átomo de hidrogénio está no nível com número quântico principal \,n=5.)
  • O elétron “absorve” uma energia de \,0,075\\ \text{eV}.)
    Pergunta: o que ocorre ao elétron depois dessa absorção de \,0,075\\ \text{eV}?

Passo 2

Conceitos e regras que vamos precisar (sem fórmulas complicadas, devagarinho):
  • Os níveis de energia do átomo de hidrogénio são quantizados e dados pela fórmula
E_n = -\frac{13,6}{n^{2}}\\ \text{eV},
onde \,E_n é a energia do nível com número quântico principal \,n (energia medida em electronvolts).
  • Para um elétron passar de um nível ligado \,n_i para outro ligado \,n_f>n_i por absorção de um fóton, é necessário que a energia do fóton seja exatamente igual à diferença de energia entre os níveis:
h\nu = E_{n_f}-E_{n_i}.
  • Para ionizar (libertar) o elétron a partir do nível \,n_i é preciso fornecer pelo menos energia igual a |E_{n_i}| (a energia necessária para ir de \,E_{n_i} até \,E_{\infty}=0).
  • Observação adicional (importante na hora da prova): além da igualdade de energias, existe também regra de seleção de momento angular (por exemplo \Delta l=\pm1 para transições elétron-dipolares), mas aqui a comparação de energias já decide o caso principal.

Passo 3

Calcular a energia do nível inicial \,n=5.
E_5 = -\frac{13,6}{5^{2}} = -\frac{13,6}{25} = -0,544\\ \text{eV}.
A energia necessária para ionizar a partir de \,n=5 (ir para \,E=0) é
|E_5| = 0,544\\ \text{eV}.

Passo 4

Comparar a energia fornecida com a energia de ionização:
0,075\\ \text{eV} < 0,544\\ \text{eV}.
Portanto a energia de \,0,075\\ \text{eV} é insuficiente para ionizar o elétron a partir de \,n=5. Ou seja, com essa quantidade de energia o elétron não pode ser arrancado do átomo.

Passo 5

Verificar se \,0,075\\ \text{eV} corresponde a uma transição para outro nível ligado (por exemplo para \,n=6, que é o nível ligado mais próximo acima de \,n=5).
Calcular a diferença entre \,n=5 e \,n=6:
\Delta E_{5\to6}=E_6-E_5 =13,6\!\left(\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{6^{2}}\right) =13,6\cdot\frac{36-25}{900} =13,6\cdot\frac{11}{900} =\frac{149,6}{900}\approx 0,166\\ \text{eV}.
Como
0,075\\ \text{eV} < 0,166\\ \text{eV},
a energia de \,0,075\\ \text{eV} não é suficiente nem para excitar o elétron de \,n=5 para \,n=6. Qualquer transição para níveis mais altos ( n>6) exige ainda mais energia (a diferença aumenta ao aproximar-se da ionização), logo também não são possíveis com \,0,075\\ \text{eV}.

Passo 6

Conclusão física direta e operacional (modo como normalmente se responde numa prova):
  • Um fóton com energia \,0,075\\ \text{eV} não coincide com nenhuma diferença de energia entre o nível \,n=5 e outro nível ligado, e é menor que a energia de ionização a partir de \,n=5. Logo esse fóton NÃO será absorvido para provocar uma transição ligada→ligada nem para ionizar. O elétron permanece no nível \,n=5.
    Breve nota extra (se a questão perguntasse “e se, apesar disso, o elétron recebesse 0,075 eV por colisão?”): nesse caso o elétron teria energia total
E_{\text{final}} = E_5 + 0,075 = -0,544 + 0,075 = -0,469\\ \text{eV},
o que corresponde a um “n _{\text{efetivo}}” não inteiro
n_{\text{efetivo}}=\sqrt{\frac{13,6}{0,469}}\approx\sqrt{29,0}\approx 5,385,
ou seja, não é um estado estacionário discreto; o estado seria uma superposição de autoestados ligados e iria evoluir temporalmente (eventualmente relaxando para níveis permitidos).

Resposta

O fóton de \,0,075\\ \text{eV} não é suficiente para ionizar nem para excitar o elétron do nível \,n=5 para qualquer nível ligado; portanto o fóton NÃO é absorvido e o elétron permanece em \,n=5.

Exercícios relacionados