Suponha que um engenheiro esteja conduzindo testes de resistência em um novo tipo de concreto. A taxa de sucesso do concreto em suportar altas cargas é de
. O engenheiro seleciona aleatoriamente uma amostra de 30 blocos de concreto para testar. Qual é a probabilidade de que exatamente 25 blocos suportem as cargas aplicadas? R:0,1047285
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os números do enunciado).
- Tamanho da amostra:
. - Probabilidade de sucesso (um bloco suportar a carga):
. - Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente
blocos suportem as cargas aplicadas? Ou seja, queremos , onde conta o número de blocos que têm sucesso na amostra de .
Passo 2
Qual método usar e por quê.
- Aqui temos um número fixo de testes independentes (
), cada teste tem só dois resultados (sucesso ou fracasso) e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada teste ( ). Esse é o cenário clássico de uma distribuição binomial. - A fórmula da probabilidade binomial para obter exatamente
sucessos em testes é:
onde:
-
é o número de maneiras de escolher quais testes deram sucesso (compreensão combinatória); -
é a probabilidade de obter sucesso nas posições escolhidas; -
é a probabilidade de fracasso nas demais posições. - Aqui, vamos aplicar essa fórmula com
, e .
Passo 3
Aplicando a fórmula com os valores do problema:
Explicando as peças:
-
conta quantas escolhas diferentes de 25 blocos dentre 30 podem ocorrer. -
é a probabilidade de sucesso exatamente nas 25 posições escolhidas. -
é a probabilidade de fracasso nos 5 blocos restantes.
Passo 4
Calcular o coeficiente binomial
.
- Observação útil:
(escolher 25 para serem sucesso é o mesmo que escolher 5 para serem fracasso). - Usando produto e simplificação:
Vamos simplificar passo a passo (para que dê para fazer sem calculadora):
- Divida
por para simplificar: . - Agora temos
. - Divida
por : . - Divida
por : . - Divida
por : . - Depois de simplificar o denominador por completo, fica:
Calcule em ordem conveniente:
-
. -
. -
. -
.
Portanto
Passo 5
Calcular
(é simples porque
):
Agora multiplico este valor pelo coeficiente binomial:
(Fiz a divisão
para obter esse número exato em decimal.)
Passo 6
Calcular
. Uma forma exata e limpa é usar que
, logo
Os valores inteiros são:
Assim
(é suficiente saber que esse número é aproximadamente
.)
Passo 7
Juntando tudo para obter
:
Substituindo o valor exato em fração:
Calculando essa multiplicação (ou usando uma calculadora com essas constantes racionais) obtemos, aproximando com cuidado:
Pode-se verificar que, escrito como fração inteira, o valor é
Passo 8
Interpretação rápida (palavras de amigo): a probabilidade de exatamente 25 dos 30 blocos suportarem a carga é cerca de
. Não é um número enorme, mas também não é raríssimo — intuitivamente faz sentido já que a média de sucessos é
, então 25 está um pouco acima da média, mas ainda dentro da faixa com probabilidade razoável.