Suponha que um engenheiro esteja conduzindo testes de resistência em um novo tipo de concreto. A taxa de sucesso do concreto em suportar altas cargas é de 75 \%. O engenheiro seleciona aleatoriamente uma amostra de 30 blocos de concreto para testar. Qual é a probabilidade de que exatamente 25 blocos suportem as cargas aplicadas? R:0,1047285

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os números do enunciado).
  • Tamanho da amostra: n=30.
  • Probabilidade de sucesso (um bloco suportar a carga): p=75\% = 0,75.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente 25 blocos suportem as cargas aplicadas? Ou seja, queremos P(X=25), onde X conta o número de blocos que têm sucesso na amostra de 30.

Passo 2

Qual método usar e por quê.
  • Aqui temos um número fixo de testes independentes ( n=30), cada teste tem só dois resultados (sucesso ou fracasso) e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada teste ( p=0,75). Esse é o cenário clássico de uma distribuição binomial.
  • A fórmula da probabilidade binomial para obter exatamente k sucessos em n testes é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k testes deram sucesso (compreensão combinatória);
  • p^{k} é a probabilidade de obter sucesso nas k posições escolhidas;
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de fracasso nas demais n-k posições.
  • Aqui, vamos aplicar essa fórmula com n=30, k=25 e p=0,75.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os valores do problema:
P(X=25)=\binom{30}{25}\,(0,75)^{25}\,(0,25)^{5}.
Explicando as peças:
  • \binom{30}{25} conta quantas escolhas diferentes de 25 blocos dentre 30 podem ocorrer.
  • (0,75)^{25} é a probabilidade de sucesso exatamente nas 25 posições escolhidas.
  • (0,25)^{5} é a probabilidade de fracasso nos 5 blocos restantes.

Passo 4

Calcular o coeficiente binomial \binom{30}{25}.
  • Observação útil: \binom{30}{25}=\binom{30}{5} (escolher 25 para serem sucesso é o mesmo que escolher 5 para serem fracasso).
  • Usando produto e simplificação:
\binom{30}{5}=\frac{30\cdot29\cdot28\cdot27\cdot26}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Vamos simplificar passo a passo (para que dê para fazer sem calculadora):
  • Divida 30 por 5 para simplificar: 30/5=6.
  • Agora temos \dfrac{6\cdot29\cdot28\cdot27\cdot26}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
  • Divida 28 por 4: 28/4=7.
  • Divida 27 por 3: 27/3=9.
  • Divida 26 por 2: 26/2=13.
  • Depois de simplificar o denominador por completo, fica:
\binom{30}{5}=6\cdot29\cdot7\cdot9\cdot13.
Calcule em ordem conveniente:
  • 6\cdot29=174.
  • 174\cdot7=1218.
  • 1218\cdot9=10962.
  • 10962\cdot13=142506.
    Portanto
\binom{30}{25}=142506.

Passo 5

Calcular (0,25)^5 (é simples porque 0,25=\tfrac{1}{4}):
(0,25)^5=\left(\tfrac{1}{4}\right)^5=\tfrac{1}{1024}=0,0009765625.
Agora multiplico este valor pelo coeficiente binomial:
142506\cdot 0,0009765625 = \frac{142506}{1024} = 139,2578125.
(Fiz a divisão 142506/1024 para obter esse número exato em decimal.)

Passo 6

Calcular (0,75)^{25}. Uma forma exata e limpa é usar que 0,75=\tfrac{3}{4}, logo
(0,75)^{25}=\left(\tfrac{3}{4}\right)^{25}=\frac{3^{25}}{4^{25}}.
Os valores inteiros são:
3^{25}=847288609443,\qquad 4^{25}=2^{50}=1125899906842624.
Assim
(0,75)^{25}=\frac{847288609443}{1125899906842624}\approx 0,000751704\ldots
(é suficiente saber que esse número é aproximadamente 7,51704\times10^{-4}.)

Passo 7

Juntando tudo para obter P(X=25):
P(X=25)=142506\cdot(0,75)^{25}\cdot(0,25)^{5} =139,2578125\cdot(0,75)^{25}.
Substituindo o valor exato em fração:
P(X=25)=139,2578125\cdot\frac{847288609443}{1125899906842624}.
Calculando essa multiplicação (ou usando uma calculadora com essas constantes racionais) obtemos, aproximando com cuidado:
P(X=25)\approx 0,1047285.
Pode-se verificar que, escrito como fração inteira, o valor é
P(X=25)=\frac{15102919463321475}{144115188075855872}\approx 0,1047285.

Passo 8

Interpretação rápida (palavras de amigo): a probabilidade de exatamente 25 dos 30 blocos suportarem a carga é cerca de 10{,}47\%. Não é um número enorme, mas também não é raríssimo — intuitivamente faz sentido já que a média de sucessos é np=30\cdot0,75=22{,}5, então 25 está um pouco acima da média, mas ainda dentro da faixa com probabilidade razoável.

Resposta

0,1047285

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