Suponha que a equação da onda em uma certa corda é dada por y(x, t)=sin (4 pi x-5 pi t), onde as unidades estão no SI. As extremidades da corda, que não estão fixas, são dadas por x=0 e x=5 m. A massa da corda é de 160 g .
(a) [1,0 pontos ] Determine a amplitude, a frequência angular e o número de onda da onda.
(b) [1,0 pontos ] Calcule a frequência, o período, o comprimento de onda e a velocidade de propagação da onda.
(c) [1,0 pontos ] Calcule a tensão aplicada na corda.
(d) [1,0 pontos ] Calcule a posição vertical, em relação a y=0, de uma partícula da corda situada em x=37,5 cm, no instante t=2 s.
(e) [1, 0 pontos ] Faça um esboço do gráfico de y versus x, no instante t=0,4 s.

Passo 1

O enunciado dá a equação de uma onda transversal numa corda de comprimento L=5 m e massa total m=0,16 kg:
y(x,t)=sinl(4pi x - 5pi tr)
O conteúdo é movimento ondulatório harmônico. Vamos identificar amplitude A, número de onda k e frequência angular omega, depois obter frequência f, período T, comprimento de onda lambda, velocidade v, tensão F, deslocamento em dado ponto e esboçar o perfil em t=0,4 s.

Passo 2

Comparando com a forma geral
y(x,t)=Asinl(kx - omega tr),
vemos que A=1 m,
k = 4pi rad/m,
omega = 5pi rad/s

Passo 3

A frequência e período vêm de
f = omega2pi = 5pi2pi = 2,5 Hz, T = 1f = 0,4 s
O comprimento de onda e a velocidade são
lambda = 2pik = 2pi4pi = 0,5 m, v = lambda f = 0,5 times 2,5 = 1,25 m/s

Passo 4

A tensão é dada por v = raizF/mu, onde mu = m/L = 0,16/5 = 0,032 kg/m. Logo
F = mu,v^2 = 0,032 times (1,25)^2 = 0,05 N

Passo 5

Para x=0,375 m e t=2 s o argumento do seno é
4pi,(0,375) - 5pi,(2) = 1,5pi - 10pi = -8,5pi = -tfracpi2 pmod2pi,
portanto
y = sinl(-tfracpi2r) = -1 m

Passo 6

Em t=0,4 s temos
y(x,0,4)=sinl(4pi x - 5picdot0,4r) =sinl(4pi x -2pir) =sinl(4pi xr)
Como lambda=0,5 m, há 10 ondas completas ao longo de 0<= x<=5. O gráfico de y versus x é uma senoide de amplitude 1, zeros em x=n/4 (onde n é inteiro) e picos pm1 nos pontos intermediários.

Resposta

(a) A=1 m, omega=5pi rad/s, k=4pi rad/m.
(b) f=2,5 Hz, T=0,4 s, lambda=0,5 m, v=1,25 m/s.
(c) F=0,05 N.
(d) y(0,375,2)= -1 m.
(e) Gráfico de y(x,0,4)=sin(4pi x): senoide de lambda=0,5 m, amplitude pm1, com 10 ciclos entre x=0 e x=5.

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