Suponha que o erro na temperatura de reação, em graus centígrados, para um determinado experimento de laboratório seja a variável aleatória X\), cuja função é: \[f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}}{3}, & -1<x \leq 2 \\\\ 0, & \text { c.c. }\end{cases}
a) Verifique se \mathrm{f}(\mathrm{x})\] é uma função densidade de probabilidade b) P \((0<X \leq 1)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informação dada: a variável aleatória X\) tem função \[f(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{2}}{3}, & -1<x \leq 2, \\[4pt] 0, & \text{c.c.}\end{cases}
(“c.c.” significa “caso contrário”, i.e., fora do intervalo ((-1,2]] a função é zero).
  • Perguntas:
    (a) Verificar se f(x) é uma função densidade de probabilidade.
    (b) Calcular P(0<X\leq 1).]

Passo 2

O que significa “ser uma função densidade de probabilidade” para uma variável contínua? Há duas condições necessárias e suficientes:
  1. Não-negatividade: \,f(x)\ge 0 para todo x.
  2. Normalização: a integral da densidade sobre toda a reta vale 1; isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Vou verificar cada condição com calma, mostrando todas as pequenas contas.

Passo 3

Verificação da não-negatividade.
Para -1<x\le 2 temos f(x)=\dfrac{x^2}{3}. Como x^2\ge 0 para todo x, segue que
f(x)=\dfrac{x^2}{3}\ge 0\quad\text{para todo } -1<x\le 2.
Fora desse intervalo f(x)=0, que também é não-negativo. Portanto a condição de não-negatividade está satisfeita.

Passo 4

Verificação da normalização (integral igual a 1). Preciso calcular
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx.
Como f(x)=0 fora de (-1,2], a integral sobre toda a reta reduz-se à integral no intervalo (-1,2]:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{-1}^{2} \dfrac{x^{2}}{3}\,dx.
Calculo a integral passo a passo. A primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Logo,
\int_{-1}^{2} \dfrac{x^{2}}{3}\,dx = \dfrac{1}{3}\int_{-1}^{2} x^{2}\,dx = \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{x=-1}^{x=2}.
Avalio a expressão nos extremos:
\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2} = \dfrac{2^{3}}{3} - \dfrac{(-1)^{3}}{3} = \dfrac{8}{3} - \dfrac{-1}{3} = \dfrac{8+1}{3} = \dfrac{9}{3} = 3.
Portanto
\int_{-1}^{2} \dfrac{x^{2}}{3}\,dx = \dfrac{1}{3}\cdot 3 = 1.
A integral vale 1, então a condição de normalização também é satisfeita.

Passo 5

Conclusão sobre a parte (a):
Como f(x)\ge 0 para todo x e \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1, concluímos que f(x) é sim uma função densidade de probabilidade.

Passo 6

Agora a parte (b): calcular P(0<X\le 1).
Para variáveis contínuas, a probabilidade de um ponto exato é zero, então a inclusão ou não do zero (ou do 1) na desigualdade não altera o resultado. Em termo prático,
P(0<X\le 1)=\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} \dfrac{x^{2}}{3}\,dx.

Passo 7

Calculo da integral para P(0<X\le 1). Reaplico a primitiva de x^{2}:
\int_{0}^{1} \dfrac{x^{2}}{3}\,dx = \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1^{3}-0^{3}}{3} = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}.
Como aproximação decimal, \dfrac{1}{9}\approx 0{,}111.

Passo 8

Interpretação final e incentivo rápido: a densidade é bem comportada (parabólica simétrica em torno de zero no trecho negativo/positivo) e as integrais pequenas saem diretas se lembrar que a primitiva de x^2 é \tfrac{x^3}{3}. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no processo!

Resposta

(a) Sim, f(x) é uma função densidade de probabilidade.
(b) P(0<X\le 1)=\dfrac{1}{9}.

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