Suponha que o erro na temperatura de reação, em graus centígrados, para um determinado experimento de laboratório seja a variável aleatória
a) Verifique se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Informação dada: a variável aleatória
(“c.c.” significa “caso contrário”, i.e., fora do intervalo ((-1,2]] a função é zero).
- Perguntas:
(a) Verificar seé uma função densidade de probabilidade.
(b) Calcular.]
Passo 2
O que significa “ser uma função densidade de probabilidade” para uma variável contínua? Há duas condições necessárias e suficientes:
- Não-negatividade:
para todo . - Normalização: a integral da densidade sobre toda a reta vale
; isto é,
Vou verificar cada condição com calma, mostrando todas as pequenas contas.
Passo 3
Verificação da não-negatividade.
Para
temos
. Como
para todo
, segue que
Fora desse intervalo
, que também é não-negativo. Portanto a condição de não-negatividade está satisfeita.
Passo 4
Verificação da normalização (integral igual a 1). Preciso calcular
Como
fora de
, a integral sobre toda a reta reduz-se à integral no intervalo
:
Calculo a integral passo a passo. A primitiva de
é
. Logo,
Avalio a expressão nos extremos:
Portanto
A integral vale
, então a condição de normalização também é satisfeita.
Passo 5
Conclusão sobre a parte (a):
Como
para todo
e
, concluímos que
é sim uma função densidade de probabilidade.
Passo 6
Agora a parte (b): calcular
.
Para variáveis contínuas, a probabilidade de um ponto exato é zero, então a inclusão ou não do zero (ou do 1) na desigualdade não altera o resultado. Em termo prático,
Passo 7
Calculo da integral para
. Reaplico a primitiva de
:
Como aproximação decimal,
.
Passo 8
Interpretação final e incentivo rápido: a densidade é bem comportada (parabólica simétrica em torno de zero no trecho negativo/positivo) e as integrais pequenas saem diretas se lembrar que a primitiva de
é
. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no processo!
Resposta
(a) Sim,
é uma função densidade de probabilidade.
(b) .
(b)