Uma variável aleatória tem f.d.p. triangular dada a seguir
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x, & 0 \leq x \leq 1 \\\ 2-x, & 1<x<2 \\\ 0, & \text { c.c. }\end{array}\right.
\mathrm{P}(1 / 4<\mathrm{X}❤️ / 2)

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade (f.d.p.) triangular
f(x)=\begin{cases} x, & 0 \le x \le 1,\\[4pt] 2-x, & 1<x<2,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
e pede a probabilidade
\mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{4}<X<\tfrac{3}{2}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável X tem suporte em [0,2].
  • A f.d.p. é definida por partes: \,f(x)=x para 0\le x\le1 e \,f(x)=2-x para 1<x<2.
  • O intervalo pedido \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\right) atravessa o ponto x=1, onde a expressão da f.d.p. muda (logo será necessário dividir a integral).]

Passo 2

Lembrete importante (definição usada): para uma variável contínua com f.d.p. f(x),
\mathrm{P}(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui isso significa que devemos integrar f(x) de x=\tfrac{1}{4} até x=\tfrac{3}{2}. Como f(x) tem duas fórmulas em [0,2] e 1 está entre os limites, vamos separar a integral em duas partes: de \tfrac{1}{4} a 1 usando f(x)=x e de 1 a \tfrac{3}{2} usando f(x)=2-x.

Passo 3

Escrevendo a probabilidade como soma das integrais:
\mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{4}<X<\tfrac{3}{2}\right) =\int_{\tfrac{1}{4}}^{\tfrac{3}{2}} f(x)\,dx =\int_{\tfrac{1}{4}}^{1} x\,dx \;+\; \int_{1}^{\tfrac{3}{2}} (2-x)\,dx.

Passo 4

Calcular a primeira integral. A primitiva de x é \tfrac{x^{2}}{2}. Então
\int_{\tfrac{1}{4}}^{1} x\,dx =\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{x=\tfrac{1}{4}}^{x=1} =\frac{1^{2}}{2}-\frac{\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}}{2}.
Agora compute passo a passo: \left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\tfrac{1}{16} e \tfrac{1}{16}\div 2=\tfrac{1}{32}. Logo
\int_{\tfrac{1}{4}}^{1} x\,dx = \frac{1}{2}-\frac{1}{32}=\frac{16}{32}-\frac{1}{32}=\frac{15}{32}.

Passo 5

Calcular a segunda integral. A primitiva de 2-x é 2x-\tfrac{x^{2}}{2}. Então
\int_{1}^{\tfrac{3}{2}} (2-x)\,dx =\left.\left(2x-\frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{x=1}^{x=\tfrac{3}{2}}.
Avalie nos limites: para x=\tfrac{3}{2},
2\cdot\frac{3}{2}-\frac{\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}}{2} =3-\frac{9/4}{2}=3-\frac{9}{8}=\frac{24}{8}-\frac{9}{8}=\frac{15}{8}.
Para x=1,
2\cdot 1-\frac{1^{2}}{2}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{12}{8}.
Subtraindo:
\int_{1}^{\tfrac{3}{2}} (2-x)\,dx = \frac{15}{8}-\frac{12}{8}=\frac{3}{8}.

Passo 6

Somar as duas parcelas para obter a probabilidade total:
\mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{4}<X<\tfrac{3}{2}\right) =\frac{15}{32}+\frac{3}{8}.
Transformando \tfrac{3}{8} em \tfrac{12}{32} e somando:
\frac{15}{32}+\frac{12}{32}=\frac{27}{32}.
Em forma decimal, isso vale 0{,}84375, se quiser conferir com uma calculadora.

Passo 7

Checagem rápida (sugerida para prova): verificar que a f.d.p. está normalizada, isto é \int_{0}^{2} f(x)\,dx=1. De fato,
\int_{0}^{1} x\,dx=\frac{1}{2},\qquad \int_{1}^{2}(2-x)\,dx=\frac{1}{2},
e a soma dá 1. Isso confirma que as integrais que fizemos são coerentes com uma f.d.p.

Resposta

\tfrac{27}{32}

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